Дурная бесконечность?
Нарисовался вот такой математический парадокс. Прошу френдов, не чуждых математики, подсказать, где я накосячил в рассуждениях?
Итак, допустим, нам предстоит случайно выбирать одно число из бесконечного множества натуральных чисел. Давайте для удобства будем называть выбираемое число номером.
Для начала поставим вопрос так: какова вероятность верно предсказать, какой номер мы выберем? Ответ очевиден: эта вероятность равна нулю. Тут никакого парадокса нет: мы выбираем из бесконечного количества равновероятных вариантов, поэтому нет ничего удивительного в том, что правильно предсказать результат выбора мы не сможем.
Теперь поставим вопрос немного по-другому: какова вероятность верно предсказать, что случайно выбранный номер окажется меньше определённого конечного числа Q? С точки зрения теории вероятности ответ такой же: вероятность равна нулю. Ведь какое бы число Q мы не взяли, в интервале от 1 до Q окажется конечное количество номеров, а в интервале от Q до бесконечности - бесконечное количество.
Но, с другой стороны, какой-то конкретный номер N мы выберем, и он определённо окажется меньше всех (конечных!) чисел, следующих за ним: N+1, N+2 и так далее. В этом и заключается парадокс. Нам ведь ничто не мешало выбрать в качестве числа Q, предположим, число N+10, и тогда бы мы предсказали правильно, не смотря на то, что теория вероятности это запрещает!
Замечу, что второй случай принципиально отличается первого. В первом случае мы пытаемся предсказать один вариант из бесконечного числа возможных и равновероятных вариантов. Во втором случае мы пытаемся предсказать один вариант из двух возможных:
а) случайно выбранный номер окажется меньше, чем Q;
б) случайно выбранный номер окажется больше, чем Q.
Причём, эти варианты абсолютно не «равноправны»: для любого конечного Q вероятность варианта «а» бесконечно близка к нулю, а вероятность варианта «б» бесконечно близка к единице. И тем не менее, при выборе ВСЕГДА случается именно вариант «а», ведь выбранной номер заведомо меньше какого-то конечного Q!
Предвижу такое возражение: физически реализовать выбор из множества с бесконечным числом элементов невозможно, а значит и говорить не о чем.
Разумеется, невозможно реально провести такой эксперимент. Нельзя построить «лотерейный барабан» с бесконечным количеством пронумерованных шаров. Но я говорю не о физическом, а о математическом и, наверное, философском парадоксе. В математике бесконечное множество натуральных чисел реально (в определённом смысле) существует, и ничто не запрещает нам проводить с ним мысленные эксперименты.
Итак, допустим, нам предстоит случайно выбирать одно число из бесконечного множества натуральных чисел. Давайте для удобства будем называть выбираемое число номером.
Для начала поставим вопрос так: какова вероятность верно предсказать, какой номер мы выберем? Ответ очевиден: эта вероятность равна нулю. Тут никакого парадокса нет: мы выбираем из бесконечного количества равновероятных вариантов, поэтому нет ничего удивительного в том, что правильно предсказать результат выбора мы не сможем.
Теперь поставим вопрос немного по-другому: какова вероятность верно предсказать, что случайно выбранный номер окажется меньше определённого конечного числа Q? С точки зрения теории вероятности ответ такой же: вероятность равна нулю. Ведь какое бы число Q мы не взяли, в интервале от 1 до Q окажется конечное количество номеров, а в интервале от Q до бесконечности - бесконечное количество.
Но, с другой стороны, какой-то конкретный номер N мы выберем, и он определённо окажется меньше всех (конечных!) чисел, следующих за ним: N+1, N+2 и так далее. В этом и заключается парадокс. Нам ведь ничто не мешало выбрать в качестве числа Q, предположим, число N+10, и тогда бы мы предсказали правильно, не смотря на то, что теория вероятности это запрещает!
Замечу, что второй случай принципиально отличается первого. В первом случае мы пытаемся предсказать один вариант из бесконечного числа возможных и равновероятных вариантов. Во втором случае мы пытаемся предсказать один вариант из двух возможных:
а) случайно выбранный номер окажется меньше, чем Q;
б) случайно выбранный номер окажется больше, чем Q.
Причём, эти варианты абсолютно не «равноправны»: для любого конечного Q вероятность варианта «а» бесконечно близка к нулю, а вероятность варианта «б» бесконечно близка к единице. И тем не менее, при выборе ВСЕГДА случается именно вариант «а», ведь выбранной номер заведомо меньше какого-то конечного Q!
Предвижу такое возражение: физически реализовать выбор из множества с бесконечным числом элементов невозможно, а значит и говорить не о чем.
Разумеется, невозможно реально провести такой эксперимент. Нельзя построить «лотерейный барабан» с бесконечным количеством пронумерованных шаров. Но я говорю не о физическом, а о математическом и, наверное, философском парадоксе. В математике бесконечное множество натуральных чисел реально (в определённом смысле) существует, и ничто не запрещает нам проводить с ним мысленные эксперименты.