Приключения Фурье в мире волн
Вот оно, преобразование Фурье. Не трусить!
Не отчаивайтесь, если у вас проблемы с математикой. Я могу вас уверить, что мои проблемы с ней огромны.
Альберт Эйнштейн
Нет сомнения, что множество эпонимов уйдут с языковой сцены, попросту отомрут за ненадобностью. Кто сейчас, кроме историков социалистических учений, употребляет слово «фурьеризм», возникшее из фамилии социалиста-утописта Шарля Фурье (1772 - 1837)? А вот ряды Фурье и преобразование Фурье будут в тренде всегда. Правда, только среди специалистов, имеющих дело с колебательными процессами: акустиков, звукорежиссёров и звукооператоров, геофизиков и радиотехников. Жан-Батист Жозеф Фурье (Jean-Baptiste Joseph Fourier; 1768 - 1830), французский математик и физик, надёжно обеспечил себе бессмертие. Плодами его трудов так или иначе пользуется и будет пользоваться едва ли не всё человечество. По крайней мере, самая сообразительная и умелая часть человечества.
Несмотря на это, широкая публика не знает имени Жан-Батиста Фурье и понятия даже не имеет о том, чем же он одарил человечество. Попытки объяснить это, как правило, заканчиваются в самом начале объяснения, когда появляется математическая формула с вот такой страшной змеёй, что изображена на картинке.
Сразу раздаются стоны и вздохи: «Нет, это очень сложно! Интеграл! Бесконечность! Мне не понять! Давайте лучше про мимимишных котиков! Или про кулинарию! Обожаю здоровую пищу»
Ну, что же, кулинария - это прекрасно. Хотя бы потому, что поесть любят все. А ещё потому, что мы сейчас попробуем разобраться с преобразованиями Фурье без всякой математики, а только на примере изготовления здорового и вкусного напитка из свежих фруктов и молока, который в советское время назывался молочным коктейлем, а сейчас - красивым английским словом смузи. И если принцип великого метода станет читателю хоть немного понятным, будем считать это частичным восстановлением справедливости по отношению к великому учёному, чей портрет изображён на той же картинке рядом с устрашающим интегралом. В котором, как мы поймём, нет ничего страшного.
Жизнь и труды Жан-Батиста Фурье
Жан-Батист Фурье родился в семье портного во французском городке Осер (Auxerre). Мальчик остался круглым сиротой в 9 лет. Его устроили на учёбу в Военную школу при монастыре бенедиктинцев. Учёба давалась пареньку настолько легко, что он не знал, какой путь ему выбрать. Стать ли теологом, военным или математиком? В 1789 году он приехал в Париж показать учёным из Сорбонны свою работу по математике. Но во Франции начиналась революция, бурное время, и тетрадка юного провинциала Жан-Батиста Фурье где-то затерялась. Сам же он вернулся в родной город и начал преподавать в школе, где прежде учился.
Через несколько лет юноша всё же оказался в Париже. С 1794 года он учился в Нормальной школе, организованной для подготовки преподавателей. В школе преподавали видные учёные: Лагранж, Лаплас, Гаспар Монж (придумавший начертательную геометрию). Преподаватели заметили способного юношу. После закрытия Нормальной школы Фурье стал преподавателем Политехнической школы, организованной для подготовки военных и гражданских инженеров.
В 1798 году 30-летний Фурье с несколькими другими учёными, среди которых были уже упомянутый математик Монж и химик Бертолле, отправляется в Египет с войсками Наполеона Бонапарта. Фурье активно участвовал в преобразованиях Наполеона, среди прочего был он префектом департамента, то есть, по нынешним российским меркам, губернатором. Император оценил административные труды математика, присвоив ему титул барона и наградив в 1808 году орденом Почётного легиона. Верность Наполеону Фурье сохранил и в так называемый период «Ста дней», когда Бонапарт возвратился из ссылки на остров Эльба и ненадолго вновь стал императором. За это после реставрации Бурбонов Фурье попал в опалу.
Фурье-анализ на примере рецепта смузи Но это пошло на пользу и науке и самому Фурье. Учёные живут дольше чем политики. В 1817 году его выбрали в Академию наук, и Фурье становится одним из влиятельнейших академиков. С 1822 года он - пожизненный секретарь Академии. Пользуясь этим высоким положением он, наконец, издаёт свой главный труд «Математическая теория тепла», в которой применил без строгого математического обоснования новый метод разложения функций на периодические составляющие. Этот метод и был назван рядами Фурье, а также Фурье-анализом или преобразованием Фурье. Его строгое обоснование было дано только в конце 19-го века, а вот применять этот метод начали гораздо раньше. И применяют до сих пор.Что вы сюда намешали?
Фурье-анализ - это разложение сложного колебания на простые составляющие. Кулинар, услышав это определение, наверняка, сформулировал бы его так: попробовав готовый пирог, определить рецепт, по которому он приготовлен. Говорят, опытные кулинары могут это сделать, задумчиво и не торопясь пережёвывая небольшой кусочек.
Не стремясь сравняться с супер-профессионалами, попробуем разложить вкусную смесь на составляющие в более простом случае. Давайте, вдумчиво продегустировав стаканчик смузи, придумаем способ определения рецепта этого напитка, общеукрепляющего и утром ободряющего.
Итак, допустим у нас имеется батарея фильтров, каждый из которых позволяет определить количество одного из компонентов нашего коктейля в единице объёма. Устройство таких фильтров сейчас не существенно, хотя технически они могут быть созданы. И созданы, и работают, позволяя определить примеси вещества самые микроскопические.
Синусоида и косинусоида. В чём различие?
Что мы получим, пропустив стакан молочного коктейля через все фильтры? Мы получим рецепт, то есть список, в котором будут указаны все ингредиенты и их количество, вроде:
- Петрушка - 1 грамм
- Бананы - 30 грамм
- Апельсины - 59 грамм
- Молоко - 85 грамм
- Вода - 25 грамм
Итого - 200 грамм
Что лучше: готовый напиток или его рецепт? Это смотря с какой точки зрения. Пользователю лучше уже приготовленный напиток: пей и наслаждайся. Производителю лучше рецепт, он позволяет быстро создать напиток из уже приготовленных составляющих. Кроме того, имея на руках рецепты, легко сравнивать несколько разных напитков. Соотношение воды и молока имеет значение, но на вкус пропорцию между ними определить достаточно сложно.
Разложение периодической функции в ряд Фурье А теперь - горбатые!
Пока всё понятно? Замечательно! Значит, можно непринуждённо перейти из королевства вкусной и здоровой пищи в царство горбатых периодических функций, которое вполне можно было бы назвать царством Фурье. Ибо этот математик здесь - владыка и законодатель.
Было сказано слово «периодические функции»; что это такое? Функция f(x) является периодической, если через определённый промежуток T, называемый периодом, её значения повторяются, что можно записать таким образом
F (x+ T) = f (x)
Самые простые периодические функции, известные ещё со школы, - это синус и косинус. За время, равное периоду T синус непрерывно изменяется от нуля до некоторого максимального значения, а затем уменьшается до нуля и дальше до минимального значения, по величине равного максимальному, но с обратным знаком, после чего вновь возвращается к нулевому значению. Таким образом, если изобразить график зависимости синуса от времени, получается двугорбая линия, называемая синусоидой. Косинус же за период T уменьшается от начального максимального значения до нуля, а затем дальше, до минимального значения, после чего снова возрастает до максимума. Таким образом, график косинуса - это сдвинутая на четверть периода назад синусоида. Слово «синусоида» применяют и для графика косинуса, хотя не будет ошибкой назвать его «косинусоидой». Но тут действует золотое правило, которое называют «бритвой Оккама»: не следует без необходимости умножать сущности. Зачем два разных названия для одной и той же кривой?
Разложение различных периодических сигналов в ряды Фурье
Мы тоже против ненужных повторений. Всё, что далее будет сказано о функции sin (x) верно и для функции cos (x).
За один период синусоида (и косинусоида тоже) один раз достигает максимума, один раз минимума и два раза становится равной 0. Это означает, что частота синуса и косинуса, выраженная в продолжительности периода функции, равна 1. Функция sin (2x) оказывается вдвое более проворной: за один период она достигает максимального и минимального значения дважды, а становится равной 0 четыре раза. Иными словами, частота функции увеличивается вдвое. Вообще же для функции sin (nx) частота колебания синусоиды увеличивается в n раз, горбов у графика функции становится всё больше.
Возвратимся к аналогии с молочным коктейлем. Уподобим смузи любую периодическую функцию f(x). В этом случае период T можно считать ёмкостью стакана, вмещающего вкусный коктейль. Ёмкость такого стакана для разных коктейлей варьируется в широких пределах, важно только, чтобы для одной и той же смеси она была одинакова.
Великая идея Жан-Батиста Фурье состоит в том, что любую периодическую функцию можно представить в виде суммы сколь угодно большого числа простых периодических функций разных частот вида sin (nx) или cos (nx), где n - любое натуральное число. По аналогии со смузи эти простые периодические функции являются как бы составляющими коктейля, чем-то вроде воды, молока, апельсинов и бананов. Более того, Фурье придумал и универсальный фильтр, формулу, позволяющую рассчитать вклад каждой такой простой периодической функции в общий «коктейль». Ту самую формулу, которая отпугивает читателей в начале статьи.
Тамара де Лемпицка. Автопортрет в зелённом бугатти. 1925 А стоит ли бояться?
Фурье - математическое стихотворение
Лорд Кельвин
Сто лет назад занятие автомобилизмом требовало не только немалых денег. Всякий, кто брался за руль должен был обладать немалой силой, чтобы удержать этот руль в руках на повороте или на колдобинах и немалыми знаниями в области механики, чтобы исправить поломку, ежели она приключится в безлюдной местности. Но технический прогресс и широкая сеть ремонтных мастерских сделали вождение беспроблемным. Сейчас милая и изящная женщина в красивом платье садится на место водителя без страха и даже с удовольствием.
Точно так же всего пятьдесят-шестьдесят лет назад взятие интеграла было нелёгким занятием, требовавшим сметки и изрядной тренировки, а иногда и многочасовых вычислений. Но технический прогресс сделал своё дело. Сейчас взятие интегралов - уже не проблема. Даже тот интеграл, который специально для испуга читателя изображён на рисунке в начале статьи, во-первых, не является проблемой для современных компьютерных программ, а во-вторых, не должен пугать даже закоренелого гуманитария.
Потому что, если посмотреть на это выражение смелым взглядом, что мы увидим? Мы увидим, что с помощью этого «страшного» выражения некоторая функция f(x), зависящая от аргумента x, превращается в другую функцию F(s), зависящую от аргумента s. Физический смысл аргумента х - время, а физический смысл аргумента s - частота.
Это можно строго доказать, но иногда для простоты лучше поверить специалисту на слово. Верите же вы производителю автомобиля, что правая педаль - это газ, и нажимая на неё, вы будете ускорять движение автомобиля. А вот левая педаль - это тормоз. Нажатие на неё будет замедлять движение.
Собственно, преобразованием Фурье называется пугающее выражение, стоящее в правой части равенства и включающее знак интеграла. Преобразование Фурье - это, действительно, преобразование. И преобразует оно любую периодическую функцию в её частотный спектр. Частотный спектр периодической функции показывает суммой синусоид каких частот является исходная периодическая функция и какой вклад в эту сумму вносит синусоида каждой частоты. Можно сказать, что периодическая функция разлагается на простые составляющие. Как в вышеприведенном примере со смузи, мы получаем своеобразный рецепт: из каких простых частот складывается сложная функция и сколько каждой компоненты содержится в смеси.
Эквалайзер выглядит такВыводы
Итак, преобразование Фурье превращает периодический сигнал в некоторый набор частот, частотный спектр. Этот спектр можно увидеть сейчас почти на каждом мобильном телефоне, в котором есть программа, называемая эквалайзер. На небольшом экране эквалайзера высвечиваются несколько столбиков, колеблющихся в такт музыке или речи, исходящих в текущий момент из динамика.
Преобразование Фурье от уха до мозга
Преобразование Фурье без всяких сложностей с интегрированием происходит в нашем ухе. Вернее, в том органе, который называется внутренним ухом. Звуковая волна, которая представляет собой волны давления, движущиеся по воздуху и колеблющие барабанную перепонку. Чтобы проанализировать эти колебания непосредственно, их нужно запомнить. Однако, компоненты внутреннего уха действуют хитрее. Они преобразуют колебания барабанной перепонки в частотный спектр, который вслед за этим преобразовывается в спектр электрических сигналов, соответствующих всем воспринятым частотам. И эти сигналы одновременно направляются в мозг, который, интерпретирует, как слышимый звук именно эти сигналы. Таким образом, преобразование Фурье делает наше слуховое восприятие более быстрым. Правда, менее запоминаемым.
Практическое применение
Теорема Фурье является не только одним из самых прекрасных результатов современного анализа, но можно сказать, что он является незаменимым инструментом при рассмотрении почти всех второстепенных вопросов современной физики.
Лорд Кельвин
- В технике преобразование Фурье позволяет представлять исходный звуковой сигнал в виде, более подходящем для хранения, чем запись на грампластинках. Как известно, на пластинках звук записывается в аналоговой форме в виде канавок на поверхности, форма которых определяется изменением интенсивности звуковой волны. Запись непосредственно звуковой волны называется записью в формате WAV и занимает довольно много места. А вот если произвести быстрое преобразование Фурье входного сигнала в набор частот, изменяющийся со временем, для записи этого набора потребуется гораздо меньше места. К тому же при этом можно дополнительно сжать спектр частот, обрезав слишком низкие и слишком высокие частоты, которые всё равно не воспринимаются человеческим ухом. Такой, более компактный, формат записи звука называется форматом MP3.
- Преобразование Фурье также позволяет очистить запись от фонового шума. Основные частоты шума можно выделить и удалить, а частоты полезного сигнала сохранить. Точно также преобразование Фурье применимо для сжатия и повышения качества фотографий. Когда Вы, например, делаете фотографию с помощью камеры мобильного телефона, происходит быстрое преобразование Фурье, и специальный алгоритм преобразует полученный спектр частот таким образом, чтобы подавлять шумы и увеличить фокусировку на интересующей области объекта. Результат можно записать в компактном формате, который называется форматом JPEG.
- После открытия рентгеновских лучей, почти стразу же возникла наука рентгенография. Она позволила изучать расположение атомов в молекулах на основе картины рассеяния рентгеновского излучения в веществе. Эта картина представляет собой распределение пятен различной интенсивности. Применяя к этому распределению интенсивностей преобразование Фурье, можно определить структуру рассеивающего вещества. В начале 1950-х годов именно с помощью рентгенографии и преобразования Фурье биологи определили структуру ДНК.
- Преобразования Фурье широко применяются при обработке информации в медицинских изображениях, в том числе, в компьютерной томографии.
- Колебания земной поверхности при землетрясении тоже можно обработать с помощью преобразований Фурье и получить спектр частот и энергий землетрясения. После этого станет видно, колебания какой частоты имеют наибольшую энергию, а значит, более опасны. Если архитекторы и инженеры-строители сконструируют здание так, чтобы его собственная частота отличалась от опасной, то здание будет более устойчивым против землетрясения.
Статья опубликована на сайте Жизнь замечательных имён
Полезные ссылки: