Как написать математическую модель гидропривода. Часть 4.
Читая мои предыдущие посты про математические модели гидропривода, наверняка, многие задавались справедливым вопросом - где же здесь, собственно, гидропривод? Какой-то непонятный сферический плунжер в вакууме, перемещающий непонятно откуда взявшуюся нагрузку, непонятно зачем. Признаюсь, мне самому надоела эта примитивная абстрактная задача, поэтому сегодня мы замоделируем полноценный гидропривод!
В качестве примера возьмём вот такую схему:
В нашем распоряжении имеется гидроцилиндр ГЦ1 с диаметром поршня 50 мм и диаметром штока 25 мм, который перемещает груз массой 500 кг и преодолевает силу F. Гидроцилиндр управляется распределителем Р1 с электрическим управлением. Центральная секция распределителя выполнена таким образом, чтобы обе полости в нейтральном положении распределителя были соединены со сливом. Площадь проходного сечения сечения распределителя в полностью открытом положении - 7 кв. мм. В качестве источника энергии используется нерегулируемый объёмный насос Н1 постоянной подачи 30 л/мин с переливным клапаном ПК1, настроенным на давление открытия 200 бар. Максимальное давление (при максимальном расходе через клапан) - 205 бар.
Нашей сегодняшней задачей будет смоделировать эту систему, подёргать распределитель и посмотреть что будет происходить.
Приступим!
Начём, как обычно, с конца, т.е. с модели гидроцилиндра. Нарисуем расчётную схему:
В итоге мы должны получить коробочку, из которой будет выходить перемещение поршня гидроцилиндра, а входить сила сопротивления и два расхода.
Да, да. На схеме так и отображено, что в обе полости расходы именно входят. Я в курсе, что такого практически никогда не может быть, но в этом случае нужно понимать, что мы создаём расчётную схему, а не иллюстрацию, а по расчётной схеме нам потом нужно будет писать математическую модель. В связи с этим гораздо удобнее направить оба расхода внутрь гидроцилиндра, а если в действительности расход будет направлен из цилиндра, просто сменится его знак. Вы ещё вспомните хорошим словом эту идею, когда мы будем стыковать к гидроцилиндру распределитель.
Как вы помните из примера с плунжером, запись уравнений нужно начинать с уравнения движения:
В уравнении помимо сил от давления рабочей жидкости появилась сила трения, о которой до этого не было и слова. Речь здесь идёт о силе трения в уплотнениях гидроцилиндра. Математическая модель трения в уплотнениях разного типа - отдельный разговор для отдельного большого поста. Да и не всегда требуется подробное моделирование трения, порой достаточно ввести линейную модель трения. Совет на будущее - если не знаете какой коэффициент вязкого трения принять для гидроцилиндра, принимайте 5000 Нс/м.
Давления в полостях опять же ищем с учётом сжимаемости:
Обратите внимание, что геометрический расход в полости А со знаком "−", а в полости B со знаком "+". Это связано с тем, что при положительной скорости перемещение поршня будет вызывать увеличение уменьшение давления в полости A и увеличение в полости B. Напоминаю, что большинство ошибок в математических моделях связано именно с неправильной расстановкой знаков расходов!
Если заморочиться, можно учесть изменения объёмов этих полостей, но для нашей задачи это не сыграет никакой роли. Поэтому я просто принят значения объёмов по 0,3 л.
Теперь можно нарисовать блок-диаграмму:
На входе мы должны подать расходы и силу, а на выходе получим перемещение поршня. Всё должно работать!
Теперь нужно присоединить к гидроцилиндру распределитель. Начнём с самого распространённого варианта гидравлического распределителя - 4/3 с закрытым центром:
А вот один из вариантов его конструктивной схемы:
В корпус с расточками вставлен цилиндрический золотник с тремя буртиками. В центральную проточку подаётся давление питания, а крайние соединены со сливом. Полости между буртиками золотника могут быть соединены с соответствующими полостями гидроцилиндра.
Кромки золотника образуют с расточками корпуса дросселирующие щели, площади которых завият от смещения золотника.
Обзовём их в соответствии с названиями гидравлических линий:
Посмотрим как меняются площади при смещении золотника:
Видно, что в нашем случае площади щелей РА и ТВ, ТА и РВ ведут себя попарно одинаково. Когда открыты щели РА и ТВ, щели ТА и РВ закрыты. И наоборот.
Конечно же, внимательный читатель заметил, что распределитель в нашей задаче отличается от рассмотренного. В нашем распределителе в нейтральном положении линии А и В соединены со сливом, что подтверждается схемой:
Это не беда, для приведения в соответствие, мы для начала должны немного подправить конструктивную схему:
Для соединения в нейтральном положении линий А и В со сливом нужно всего-то создать отрицательные перекрытия S кромкам ТА и ТВ. Я выбрал перекрытия - 20% от максимального смещения золотника. А чтобы при малейшем смещении золотника не соединять нагнетание со сливом, придадим напорным кромкам РА и РВ небольшое положительное перекрытие (5% от максимального смещения золотника). Посмотрим что получится на графике площадей:
Видно, что при нулевом положении площади сливных кромок ТА и ТВ не равны нулю. При этом, напорные кромки открываются при ненулевом смещении золотника. Т.к. в нашем простейшем примере в корпусе одинаковые проточки, линии изменения площадей будут проходить с одинаковым наклоном.
Теперь осталось дело за малым - превратить конструктивную схему в расчётную и описать всё уравнениями:
Каждую дросселирующую щель мы представим в виде дросселя с изменяемой площадью проходного сечения. Как вы уже догадываетесь, площадь мы будем получать из графиков выше, зная перемещение золотника, тогда расходы определить - дело техники.
Как и в случае с моделью гидроцилиндра, направим все расходы в одном направлении. Знак расхода будет определяться исходя из знака перепада давлений. В итоге формулы для расходов будут выглядеть так:
Ещё раз обращаю внимание, что раз уж мы направили все расходы в одном направлении, считать их нужно соответствующим образом. Видно, что в последних двух уравнениях при вычислении перепада давлений мы вычитаем из давления слива давление в соответствующей полости. Знак расхода при этом определяется функцией signum. Таким образом при нулевом давлении слива эти расходы практически никогда не будут положительными, но тем не менее мы направляем их именно так, чтобы при анализе не было путаницы. Теперь мы всегда будем знать, что если расход положителен, он направлен от источника питания к потребителю, если отрицателен - наоборот. Очень удобно!
Теперь все необходимые нам расходы в каждом канале находятся простой алгебраической суммой расходов через соответствующие щели:
Однако, не всегда удобно выбирать положительное направление расхода именно так. В частности, последний расход (расход через сливной канал распределителя) иногда удобно записать и со знаком минус. Это нужно, если мы планируем использовать его, например, для вычисления давления, когда в системе имеются гидравлические сопротивления на сливе (теплообменник, фильтр). Скорее всего, будет удобнее, если уравнения будут записываться для положительного значения расхода. В общем, нужно думать прежде всего о своём удобстве, потому что в любой неудобной ситуации мы начинаем ошибаться.
Так или иначе, структурная схема математической модели распределителя будет выглядеть как-то так:
В жёлтый прямоугольник выделена однотипная операция, которую нужно проделать абсолютно одинаково со всеми разницами давлений. В идеале, эту операцию тоже лучше заменить интерполяцией табличных данных и выполнять векторно.
Удобно также ограничить перемещение золотника нелинейностью типа «насыщение», чтобы не ставить дополнительные точку на характеристиках изменения площади.
[Реализация в MATLAB]
В MATLAB я сделал это так:
Содержание таблицы 1:
Не забываем ставить точки перед операциями с векторами.
Типичная характеристика щели распределителя описывается всего тремя точками:
Выглядит модель золотникового распределителя, конечно, страшно. Поэтому лучше бы спрятать её в подсистему:
На входе мы имеем давления во всех линиях и перемещение золотника, а на выходе получаем все расходы.
Конечно, въедливый и занудный читатель увидит, что в нашей модели золотника мы ввели кучу серьёзных допущений:
Для счастья не хватает только замоделировать устройство, приводящее золотник в движение. Это может быть пропорциональный электромагнит, линейный электродвигатель, всё это может быть дополнено гидравлическим каскадом усиления. Конечно же, каждый из способов перемещения золотника заслуживает отдельной статьи. Сейчас мы учтём динамику простым колебательным звеном с постоянной времени 0,03 с и коэффициентом демпфирования - 0,7.
Посмотрим что у нас пока получается:
Теперь, если мы подадим на вход в распределитель постоянные давления питания и слива, мы уже сможем пошевелить входным сигналом u и посмотреть что происходит в системе:
На вход распределителя я подал ступенчатый сигнал 90% от максимального в момент времени 0,1 с. На 0,6-й секунде я организовал скачок силы до значения 25 кН. Интересно посмотреть как ведут себя давления: в сначала разницы давлений практически нет, а рост давления обусловлен только гидравлическим сопротивлением сливной кромки распределителя; как только появляется сила, давление в поршневой полости резко подскакивает, компенсируя нагрузку, а в сливной падает из-за падения скорости перемещения поршня. Всё работает вполне логично.
Посмотрим теперь, адекватно ли работает гидравлический распределитель:
На этот раз в качестве входного сигнала я постепенно увеличивал, а потом уменьшал открытие распределителя. Скорость прямого хода в этом случае была немного меньше скорости обратного хода. Особенно хорошо это видно по графику перемещения (мы не вернулись в ту же точку, откуда пришли, а проехали обратно немного дальше). Это связано с тем, что площадь поршня больше площади в штоковой полости, в то время как окна распределителя одинаковые. Интересно так же ведёт себя график скорости. В районе 0,9-й секунды скорость останавливается на нуле, а затем продолжает падать. Это всё из-за перекрытий золотника.
Признаюсь, я могу бесконечно играть с этой моделью и смотреть на графики. Но на самом деле модель ещё не доделана. Нужно ведь добавить сюда модель насоса с клапаном, которая может существенно повлиять на результаты моделирования.
Сделать это довольно просто. Посмотрим на характеристику насоса с клапаном (назовём это громким термином - насосная станция):
От насосной станции нам требуется узнать давление перед клапаном, зная расход, потребляемый распределителем. Можно было бы просто повернуть эту характеристику на 90 градусов, подставлять известное значение расхода и узнавать давление. Всё было бы хорошо, но до тех пор, пока расход не стал бы равен 30 л/мин. Этому расходу может соответствовать бесконечное множество значений давления. В нашем случае придётся всё-таки иметь дело именно с таким видом представления графика.
Самым дубовым способом является встраивание перед распределителем маленького объёма жидкости из уравнения сжимаемости которой, зная расход от насосной станции и потребляемый расход распределителя, мы сможем найти давление. Раньше я так всегда и делал. Но на самом деле - это всё враньё. Если в системе нет сжимаемого объёма, не нужно его и учитывать. Если хочется учесть сжимаемость жидкости в трубках - это отдельная история, и к такой простой схеме эту модель не привести. В этом случае лучше всего использовать решатель алгебраических уравнений, о котором уже шла речь в предыдущей части.
Система в этом случае примет следующий вид:
Как обычно, наш алгебраический решатель будет варьировать давление на выходе до тех пор, пока подача насосной станции не сравняется с потребляемым расходом распределителя. Чего мы и хотели!
Посмотрим наконец как это работает:
Входные параметры точно такие же как и в первом нашем эксперименте, но результат существенно отличается. Без нагрузки давление питания на входе при открытии распределителя резко падает, и насосная станция выходит на максимальную подачу. После увеличения нагрузки давление подскакивает и переливной клапан слегка открывается, из-за чего скорость совсем немного уменьшается. Т.е. система ведёт себя вполне логично.
Теперь с этой моделью можно проделывать какие угодно эксперименты. Оставлю это удовольствие вам, а сам буду писать следующий пост. Думаю, можно будет начать углубляться в моделирование гидроагрегатов как раз с более точной модели цилиндрического золотникового распределителя...
В качестве примера возьмём вот такую схему:
В нашем распоряжении имеется гидроцилиндр ГЦ1 с диаметром поршня 50 мм и диаметром штока 25 мм, который перемещает груз массой 500 кг и преодолевает силу F. Гидроцилиндр управляется распределителем Р1 с электрическим управлением. Центральная секция распределителя выполнена таким образом, чтобы обе полости в нейтральном положении распределителя были соединены со сливом. Площадь проходного сечения сечения распределителя в полностью открытом положении - 7 кв. мм. В качестве источника энергии используется нерегулируемый объёмный насос Н1 постоянной подачи 30 л/мин с переливным клапаном ПК1, настроенным на давление открытия 200 бар. Максимальное давление (при максимальном расходе через клапан) - 205 бар.
Нашей сегодняшней задачей будет смоделировать эту систему, подёргать распределитель и посмотреть что будет происходить.
Приступим!
Начём, как обычно, с конца, т.е. с модели гидроцилиндра. Нарисуем расчётную схему:
В итоге мы должны получить коробочку, из которой будет выходить перемещение поршня гидроцилиндра, а входить сила сопротивления и два расхода.
Да, да. На схеме так и отображено, что в обе полости расходы именно входят. Я в курсе, что такого практически никогда не может быть, но в этом случае нужно понимать, что мы создаём расчётную схему, а не иллюстрацию, а по расчётной схеме нам потом нужно будет писать математическую модель. В связи с этим гораздо удобнее направить оба расхода внутрь гидроцилиндра, а если в действительности расход будет направлен из цилиндра, просто сменится его знак. Вы ещё вспомните хорошим словом эту идею, когда мы будем стыковать к гидроцилиндру распределитель.
Как вы помните из примера с плунжером, запись уравнений нужно начинать с уравнения движения:
В уравнении помимо сил от давления рабочей жидкости появилась сила трения, о которой до этого не было и слова. Речь здесь идёт о силе трения в уплотнениях гидроцилиндра. Математическая модель трения в уплотнениях разного типа - отдельный разговор для отдельного большого поста. Да и не всегда требуется подробное моделирование трения, порой достаточно ввести линейную модель трения. Совет на будущее - если не знаете какой коэффициент вязкого трения принять для гидроцилиндра, принимайте 5000 Нс/м.
Давления в полостях опять же ищем с учётом сжимаемости:
Обратите внимание, что геометрический расход в полости А со знаком "−", а в полости B со знаком "+". Это связано с тем, что при положительной скорости перемещение поршня будет вызывать увеличение уменьшение давления в полости A и увеличение в полости B. Напоминаю, что большинство ошибок в математических моделях связано именно с неправильной расстановкой знаков расходов!
Если заморочиться, можно учесть изменения объёмов этих полостей, но для нашей задачи это не сыграет никакой роли. Поэтому я просто принят значения объёмов по 0,3 л.
Теперь можно нарисовать блок-диаграмму:
На входе мы должны подать расходы и силу, а на выходе получим перемещение поршня. Всё должно работать!
Теперь нужно присоединить к гидроцилиндру распределитель. Начнём с самого распространённого варианта гидравлического распределителя - 4/3 с закрытым центром:
А вот один из вариантов его конструктивной схемы:
В корпус с расточками вставлен цилиндрический золотник с тремя буртиками. В центральную проточку подаётся давление питания, а крайние соединены со сливом. Полости между буртиками золотника могут быть соединены с соответствующими полостями гидроцилиндра.
Кромки золотника образуют с расточками корпуса дросселирующие щели, площади которых завият от смещения золотника.
Обзовём их в соответствии с названиями гидравлических линий:
- ТА - соединяет полость А со сливом;
- РА - соединяет полость Р с линией А;
- РВ - соединяет полость Р с линией В;
- ТВ - соединяет полость В со сливом.
Посмотрим как меняются площади при смещении золотника:
Видно, что в нашем случае площади щелей РА и ТВ, ТА и РВ ведут себя попарно одинаково. Когда открыты щели РА и ТВ, щели ТА и РВ закрыты. И наоборот.
Конечно же, внимательный читатель заметил, что распределитель в нашей задаче отличается от рассмотренного. В нашем распределителе в нейтральном положении линии А и В соединены со сливом, что подтверждается схемой:
Это не беда, для приведения в соответствие, мы для начала должны немного подправить конструктивную схему:
Для соединения в нейтральном положении линий А и В со сливом нужно всего-то создать отрицательные перекрытия S кромкам ТА и ТВ. Я выбрал перекрытия - 20% от максимального смещения золотника. А чтобы при малейшем смещении золотника не соединять нагнетание со сливом, придадим напорным кромкам РА и РВ небольшое положительное перекрытие (5% от максимального смещения золотника). Посмотрим что получится на графике площадей:
Видно, что при нулевом положении площади сливных кромок ТА и ТВ не равны нулю. При этом, напорные кромки открываются при ненулевом смещении золотника. Т.к. в нашем простейшем примере в корпусе одинаковые проточки, линии изменения площадей будут проходить с одинаковым наклоном.
Теперь осталось дело за малым - превратить конструктивную схему в расчётную и описать всё уравнениями:
Каждую дросселирующую щель мы представим в виде дросселя с изменяемой площадью проходного сечения. Как вы уже догадываетесь, площадь мы будем получать из графиков выше, зная перемещение золотника, тогда расходы определить - дело техники.
Как и в случае с моделью гидроцилиндра, направим все расходы в одном направлении. Знак расхода будет определяться исходя из знака перепада давлений. В итоге формулы для расходов будут выглядеть так:
Ещё раз обращаю внимание, что раз уж мы направили все расходы в одном направлении, считать их нужно соответствующим образом. Видно, что в последних двух уравнениях при вычислении перепада давлений мы вычитаем из давления слива давление в соответствующей полости. Знак расхода при этом определяется функцией signum. Таким образом при нулевом давлении слива эти расходы практически никогда не будут положительными, но тем не менее мы направляем их именно так, чтобы при анализе не было путаницы. Теперь мы всегда будем знать, что если расход положителен, он направлен от источника питания к потребителю, если отрицателен - наоборот. Очень удобно!
Теперь все необходимые нам расходы в каждом канале находятся простой алгебраической суммой расходов через соответствующие щели:
Однако, не всегда удобно выбирать положительное направление расхода именно так. В частности, последний расход (расход через сливной канал распределителя) иногда удобно записать и со знаком минус. Это нужно, если мы планируем использовать его, например, для вычисления давления, когда в системе имеются гидравлические сопротивления на сливе (теплообменник, фильтр). Скорее всего, будет удобнее, если уравнения будут записываться для положительного значения расхода. В общем, нужно думать прежде всего о своём удобстве, потому что в любой неудобной ситуации мы начинаем ошибаться.
Так или иначе, структурная схема математической модели распределителя будет выглядеть как-то так:
В жёлтый прямоугольник выделена однотипная операция, которую нужно проделать абсолютно одинаково со всеми разницами давлений. В идеале, эту операцию тоже лучше заменить интерполяцией табличных данных и выполнять векторно.
Удобно также ограничить перемещение золотника нелинейностью типа «насыщение», чтобы не ставить дополнительные точку на характеристиках изменения площади.
[Реализация в MATLAB]
В MATLAB я сделал это так:
Содержание таблицы 1:
Не забываем ставить точки перед операциями с векторами.
Типичная характеристика щели распределителя описывается всего тремя точками:
Выглядит модель золотникового распределителя, конечно, страшно. Поэтому лучше бы спрятать её в подсистему:
На входе мы имеем давления во всех линиях и перемещение золотника, а на выходе получаем все расходы.
Конечно, въедливый и занудный читатель увидит, что в нашей модели золотника мы ввели кучу серьёзных допущений:
- Коэффициент расхода у нас постоянный, хотя очевидно, что в реальности он будет зависеть не только от числа Рейнольдса, но и от направления движения жидкости. При движении из полости между буртиками золотника в сторону проточки (сливная щель) он будет меньше, а при движении наоборот (наливная щель) он будет больше из-за влияния шейки золотника.
- Не учитывается микрогеометрия золотника. На самом деле, золотник неидеально прилегает к стенкам, а значит будут перетечки между полостями. Кроме того, кромки золотника не могут быть идеально острыми, а имеют радиус скругления, как правило, не меньше 4 мкм. Это тоже может существенно сказаться на точности моделирования.
- Здесь мы совсем не касаемся гидродинамической силы, хотя она может сказаться на динамике распределителя.
Для счастья не хватает только замоделировать устройство, приводящее золотник в движение. Это может быть пропорциональный электромагнит, линейный электродвигатель, всё это может быть дополнено гидравлическим каскадом усиления. Конечно же, каждый из способов перемещения золотника заслуживает отдельной статьи. Сейчас мы учтём динамику простым колебательным звеном с постоянной времени 0,03 с и коэффициентом демпфирования - 0,7.
Посмотрим что у нас пока получается:
Теперь, если мы подадим на вход в распределитель постоянные давления питания и слива, мы уже сможем пошевелить входным сигналом u и посмотреть что происходит в системе:
На вход распределителя я подал ступенчатый сигнал 90% от максимального в момент времени 0,1 с. На 0,6-й секунде я организовал скачок силы до значения 25 кН. Интересно посмотреть как ведут себя давления: в сначала разницы давлений практически нет, а рост давления обусловлен только гидравлическим сопротивлением сливной кромки распределителя; как только появляется сила, давление в поршневой полости резко подскакивает, компенсируя нагрузку, а в сливной падает из-за падения скорости перемещения поршня. Всё работает вполне логично.
Посмотрим теперь, адекватно ли работает гидравлический распределитель:
На этот раз в качестве входного сигнала я постепенно увеличивал, а потом уменьшал открытие распределителя. Скорость прямого хода в этом случае была немного меньше скорости обратного хода. Особенно хорошо это видно по графику перемещения (мы не вернулись в ту же точку, откуда пришли, а проехали обратно немного дальше). Это связано с тем, что площадь поршня больше площади в штоковой полости, в то время как окна распределителя одинаковые. Интересно так же ведёт себя график скорости. В районе 0,9-й секунды скорость останавливается на нуле, а затем продолжает падать. Это всё из-за перекрытий золотника.
Признаюсь, я могу бесконечно играть с этой моделью и смотреть на графики. Но на самом деле модель ещё не доделана. Нужно ведь добавить сюда модель насоса с клапаном, которая может существенно повлиять на результаты моделирования.
Сделать это довольно просто. Посмотрим на характеристику насоса с клапаном (назовём это громким термином - насосная станция):
От насосной станции нам требуется узнать давление перед клапаном, зная расход, потребляемый распределителем. Можно было бы просто повернуть эту характеристику на 90 градусов, подставлять известное значение расхода и узнавать давление. Всё было бы хорошо, но до тех пор, пока расход не стал бы равен 30 л/мин. Этому расходу может соответствовать бесконечное множество значений давления. В нашем случае придётся всё-таки иметь дело именно с таким видом представления графика.
Самым дубовым способом является встраивание перед распределителем маленького объёма жидкости из уравнения сжимаемости которой, зная расход от насосной станции и потребляемый расход распределителя, мы сможем найти давление. Раньше я так всегда и делал. Но на самом деле - это всё враньё. Если в системе нет сжимаемого объёма, не нужно его и учитывать. Если хочется учесть сжимаемость жидкости в трубках - это отдельная история, и к такой простой схеме эту модель не привести. В этом случае лучше всего использовать решатель алгебраических уравнений, о котором уже шла речь в предыдущей части.
Система в этом случае примет следующий вид:
Как обычно, наш алгебраический решатель будет варьировать давление на выходе до тех пор, пока подача насосной станции не сравняется с потребляемым расходом распределителя. Чего мы и хотели!
Посмотрим наконец как это работает:
Входные параметры точно такие же как и в первом нашем эксперименте, но результат существенно отличается. Без нагрузки давление питания на входе при открытии распределителя резко падает, и насосная станция выходит на максимальную подачу. После увеличения нагрузки давление подскакивает и переливной клапан слегка открывается, из-за чего скорость совсем немного уменьшается. Т.е. система ведёт себя вполне логично.
Теперь с этой моделью можно проделывать какие угодно эксперименты. Оставлю это удовольствие вам, а сам буду писать следующий пост. Думаю, можно будет начать углубляться в моделирование гидроагрегатов как раз с более точной модели цилиндрического золотникового распределителя...