Субботний блиц-мат-марафон: А теперь правильные отгадки!
Мат-блиц-марафон закончен! Всем, кто променял субботние летние шашлыки и другие развлечения на мат-блиц-марафонные задачки - все молодцы, всем большое спасибо за участие! - и, конечно, будут объявлены победители нашего мат-забега. Но для начала - правильные решения. Ну, по крайней мере такие решения, которые мне лично кажутся правильными. На этот счёт могут быть разные мнения, кто же сомневался. Здесь же задачки блиц-турнира и ответы на них публикую в своей версии =>
=== 1 ===
Задачка 1. Сумма квадратов трёх последовательных простых чисел равна простому числу. Найти все такие тройки чисел: pᵢ² + pᵢ₊₁² + pᵢ₊₂² = p
Решение: Первое простое не может быть двойкой, иначе сумма слева будет чётным числом. Пробуем (3,5,7) => 3² + 5² + 7² = 9 + 25 + 49 = 83 <- простое! Одно решение найдено: 3,5,7,83.
Все простые числа больше тройки при делении на три будут давать в остатке 1 или 2:
p = 1 или 2 (mod 3)
То есть, квадрат простого числа большего трёх при делении на тройку будет всегда давать остаток 1. Сумма квадратов трёх простых чисел при делении на три в остатке даст три единицы, то есть, эта сумма всегда будет делиться на 3 => решений больше нет.
pᵢ² + pᵢ₊₁² + pᵢ₊₂² = 1 + 1 + 1 (mod 3) = 0 (mod 3)
-----
Задачка 1-лёгкая. Однажды один блогер написал в своём блоге четыре цифры и решил их перемножить друг с другом: «2, 3, 4, 5, 6...» - и уснул от мозгового перенапряжения. Какой должен был получиться шестой результат перемножения?
Увы! - я немного напутал с условием. Должно быть не «четыре цифры», а «четыре числа». В таком случае задачка имеет решение.
Решение: Известны {ab, ac, ad, bc, bd} = {2, 3, 4, 5, 6}. Надо найти d.
ab*cd = ac*bd = ad*bc => 2*6 = 3*4 = 5*d (других вариантов нет) => d=2,4
Если же мы ищем именно «цифру» (натуральное число из одного символа) - то решений действительно не существует.
=== 2 ===
Задачка 2. Решить в натуральных числах и без тупого перебора: x² + 19x - x! = 0
Решение: Немножко преобразуем в более читабельный вид:
x² + 19x - x! = 0
x + 19 - (x-1)! = 0
(x-1)! - (x-1) = 20 // Замена (x-1) на y =>
y! - y = y*((y-1)! - 1) = 20
Дальше просто перебираем делители 20: y = {20,10,5,4,2,1}. Подходит единственный вариант y=4. То есть, x=5.
Можно и немного графически решить этот вопрос: x+19 - это прямая, которая неспеша под углом 45 лезет вверх, а x! - практически моментально вылетает за «пределы потолка». При этом факториал начинается в точке {1,1}, а прямая в точке {1,20} (поскольку х>=1). То есть, двух пересечений быть не может. Только одно. Перебираем несколько небольших значений x - и получаем результат.
-----
Задачка 2-лёгкая. Есть набор цифр {1, 3, 4, 6}. Используя четыре арифметических действия +-*/ (плюс, минус, умножить, разделить) и скобки получить 24.
Решение: 6/(1-3/4) = 24.
=== 3 ===
Задачка 3. Решить в натуральных числах (xʸ) * (yˣ) = (x + y)ᶻ
Решение: немного длинное.. Изложу его кратко:
m = 2^i - 1
x=y = 2^m
z = m*2^(m+1) / (m+1)
Проверяем для нескольких i=1,2,3 =>
i=1: m=1, x=y=z=2 (уже было выше).
i=2: m=3, x=y=8, z=12.
i=3: m=7, x=y=128, z=224 <- да, подходит.
Всё.
-----
Задачка 3-лёгкая. Есть числа 1,2,3,...,19. Сколькими различными способами можно их переставить так, чтобы в результате записи их подряд без пробелов получился палиндром-перевёртыш?
Решение: Сначала внимательно смотрим на набор имеющихся чисел:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Там есть единственный ноль. То есть, чтобы получился перевёртыш, этот ноль должен стоять точно посередине. От него и начнём плясать:
...10...
Слева от нуля стоит единица. Это значит, что и справа тоже должна стоять единица. Если это просто ‘1’, то поставить за ней любое ‘1?’ приводит к тому, что слева надо поставить ‘11’ - а далее никак, поскольку две единицы никак не получаются из «скрещивания» оставшихся чисел. То есть, можно поставить только ‘?’ - и там быстро приходим к невозможности дальнейшего «наращивания» полиндрома. То есть, возможна только такая конструкция:
...a 10 1a ...
И так далее. В результате получаем вот такой набор возможных вариантов:
i 1h g 1f e 1d c 1b a 10 1a b 1c d 1e f 1g h 1i
Где {a,b,c,d,e,f,g,h,i} = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} во всех возможных вариациях. То есть, количество «перевёртышей» будет 9!=362880. Всё.
=== 4 ===
Задачка 4. Найти все целые решения уравнения y² = x³ + 1
Решение: Раскладываем изначальное уравнение на множители:
y2 = x3 + 1 = (x + 1)(x2 - x + 1)
То есть, (x + 1)(x2 - x + 1) есть квадрат какого-то числа. Берём наибольший общий делитель k=НОД(x+1, x2 - x + 1) и выносим его за скобки.
x + 1 = k*m2
x2 - x + 1 = k*n2
Потом еще чуть мат-алхимии: x2 - x + 1 = (x + 1)(x - 2) + 3 , затем заменяем x + 1 = k*m2 и подставляем во второе уравнение x2 - x + 1 = k*n2. Получается k*(n2 - m2 * (x-2)) = 3, далее уже проще: перебор всех возможных целых делителей тройки: k={-1,1,-3,3}. Отбрасываем нерешабельные варианты (в целых числах) и на выходе получаем решения: (x,y) = (0, +/-1), (+/-3, 2).
Подробнее здесь.
-----
Задачка 4-лёгкая. Доказать, что если x + 2ˣ = y + 2ʸ то => x + sin(x) = y + sin(y)
Решение: Элементарно. Если x>y (или наоборот), то 2x>2y (и наоборот). То есть, если x!=y то x + 2x != y + 2y
Следовательно, x=y, а тогда можно не только синусы с косинусами, но и вообще какие угодно функции к ним применять.
Есть и другие тоже правильные решения.
=== 5 ===
Задачка 5. Решить в натуральных числах (x,y,a,n,m) вот такую красивую систему:
x + y = aⁿ
x² + y² = aᵐ
Решение: Если посмотреть на систему уравнений как на графики функций, то первое уравнение - это прямая, а второе - это окружность. Соответственно, решением системы может быть пересечение окружности с касательной (там решение и есть, причём их много) либо пересечение окружности прямой (там решений нет - и это доказывается).
Решение по касательной: x=y=2^(n-1), a=2, m=2n-1 для всех натуральных n.
Отсутствие решений в натуральных числах на пересечениях следуют из внимательного осмотра картинки (окружность и пересекающая её прямая), а также синусов и косинусов получаемых там треугольников.
Подробнее и с рассуждениями здесь.
-----
Задачка 5-лёгкая.
Два забаненных ЖЖ-администрацией блогера каждый день кидают монетку (каждый свою) и угадывают орёл или решка у другого блогера. Если хотя бы один угадывает - их аккаунты сохраняются еще на один день. Если оба не угадали - всё, конец истории. При этом блогеры забанены и не могут общаться друг с другом. Но после объявления условия они таки успели послать друг другу мессаги и о чём-то договорились. Вопрос такой: могут ли они протянуть достаточно долго, чтобы администация ЖЖ забыла обиду и вернула их из бана?
Решение: Да, конечно могут. Первый блогер всегда говорит «орёл» или «решка» по результату своего броска, а второй всегда говорит обратное по своему результату. В результате хотя бы один из них оказывается прав. Переберём варианты. Им выпадает:
решка-решка => первый угадал.
решка-орёл => второй угадал.
орёл-решка => второй угадал.
орёл-орёл => первый угадал.
Всё. Немного скучновато так жить, но протянуть можно достаточно долго :)
=== 6 ===
Задачка 6. Решить в натуральных числах уравнение (1 + nᵃ)ᵇ = 1 + nᶜ, b>1
Решение: Достаточно длинное, через бином Ньютона и сокращение лишнего. Если любопытно, то с этой задачкой мучались здесь.
-----
Задачка 6-лёгкая. N-46 и N+37 - полные квадраты, найти N.
Решение: Это просто. Пусть N-46 = x2, а N+37 = y2. Тогда:
y2 - x2 = (y-x)*(y+x) = 83 = 1*83 (разложение на множители). Кто-то из множителей единица, второй = 83. Нетрудно видеть, что {x;y} = {42;41} => N+37 = 42^2 = 1764 => N=1727.
=== 7 ===
Вне конкурса.
Задачка 7. Найти все целые решения: y² = x³ - 1
Решение: Убойное! задачка эта решается либо через комплексные пространства и навороченными формулами.. или же просто навороченными доказательствами через леммы и теоремы. Кому любопытно, то можно ознакомиться здесь.
Я сам не понял как там оно доказывается :)
А вот мы и подошли к самой волнующей части мат-блиц-марафона! Кто пораскинул мозгами дальше и глубже всех и дотянулся до ценных призов? :)
Ну, давайте снова считать...
Задачка1: Gr Bear 5, mikluha_maklai 3, bar_suk 2, Ведро Помоев 1. Иван Прокушкин 1.
Задачка1-лёгкая: по 1 surikata_tver, mikluha_maklai, kostichek.
Задачка2: sir_derryk 5, Gr Bear 3, surikata_tver 2, burdaklak 1. pyka_npu3paka 1. Ведро Помоев 1. Иван Прокушкин 1.
Задачка2-лёгкая: kostichek 1.
Задачка3: ---
Задачка3-лёгкая: ---
Задачка4: ---
Задачка4-лёгкая: mikluha_maklai 1. kostichek 1. surikata_tver 1.
Задачка5: ---
Задачка5-лёгкая: kostichek 1. surikata_tver 1.
Задачка6: ---
Задачка6-лёгкая: legantmar 1. mikluha_maklai 1. kostichek 1.
Итого получается:
Первое место - 8 баллов - Gr Bear.
Второе место - 6 баллов - mikluha_maklai.
Третье место - 5 баллов - Ого! А на третье место запрыгнули сразу три участника: sir_derryk, surikata_tver и kostichek - у всех по 5 баллов. Как знал - подписал книжек больше, чем предполагалось!
Поздравляю! Молодцы! С вами свяжутся для пересылки ценных призов. Напоминаю, что все остальные участники кто дал хотя бы один правильный ответ получают поощрительный приз - защиту от спамеров для умнофонов Who Calls.
По итогам прошедшего мероприятия предлагаю признать этот первый опыт успешно преодолевшим состояние кома первого блина :) Пишите в комментариях ваши мысли насчёт развития идеи. Ура!
=== 1 ===
Задачка 1. Сумма квадратов трёх последовательных простых чисел равна простому числу. Найти все такие тройки чисел: pᵢ² + pᵢ₊₁² + pᵢ₊₂² = p
Решение: Первое простое не может быть двойкой, иначе сумма слева будет чётным числом. Пробуем (3,5,7) => 3² + 5² + 7² = 9 + 25 + 49 = 83 <- простое! Одно решение найдено: 3,5,7,83.
Все простые числа больше тройки при делении на три будут давать в остатке 1 или 2:
p = 1 или 2 (mod 3)
То есть, квадрат простого числа большего трёх при делении на тройку будет всегда давать остаток 1. Сумма квадратов трёх простых чисел при делении на три в остатке даст три единицы, то есть, эта сумма всегда будет делиться на 3 => решений больше нет.
pᵢ² + pᵢ₊₁² + pᵢ₊₂² = 1 + 1 + 1 (mod 3) = 0 (mod 3)
-----
Задачка 1-лёгкая. Однажды один блогер написал в своём блоге четыре цифры и решил их перемножить друг с другом: «2, 3, 4, 5, 6...» - и уснул от мозгового перенапряжения. Какой должен был получиться шестой результат перемножения?
Увы! - я немного напутал с условием. Должно быть не «четыре цифры», а «четыре числа». В таком случае задачка имеет решение.
Решение: Известны {ab, ac, ad, bc, bd} = {2, 3, 4, 5, 6}. Надо найти d.
ab*cd = ac*bd = ad*bc => 2*6 = 3*4 = 5*d (других вариантов нет) => d=2,4
Если же мы ищем именно «цифру» (натуральное число из одного символа) - то решений действительно не существует.
=== 2 ===
Задачка 2. Решить в натуральных числах и без тупого перебора: x² + 19x - x! = 0
Решение: Немножко преобразуем в более читабельный вид:
x² + 19x - x! = 0
x + 19 - (x-1)! = 0
(x-1)! - (x-1) = 20 // Замена (x-1) на y =>
y! - y = y*((y-1)! - 1) = 20
Дальше просто перебираем делители 20: y = {20,10,5,4,2,1}. Подходит единственный вариант y=4. То есть, x=5.
Можно и немного графически решить этот вопрос: x+19 - это прямая, которая неспеша под углом 45 лезет вверх, а x! - практически моментально вылетает за «пределы потолка». При этом факториал начинается в точке {1,1}, а прямая в точке {1,20} (поскольку х>=1). То есть, двух пересечений быть не может. Только одно. Перебираем несколько небольших значений x - и получаем результат.
-----
Задачка 2-лёгкая. Есть набор цифр {1, 3, 4, 6}. Используя четыре арифметических действия +-*/ (плюс, минус, умножить, разделить) и скобки получить 24.
Решение: 6/(1-3/4) = 24.
=== 3 ===
Задачка 3. Решить в натуральных числах (xʸ) * (yˣ) = (x + y)ᶻ
Решение: немного длинное.. Изложу его кратко:
- Через Наибольший общий делитель НОД(x,y) и бином Ньютона (да, надо развернуть скобки - короче я не придумал) получаем, что x=y.
- Упрощаем формулу: x^2x = (2x)^z. Отсюда сразу следует, что x чётное, т.е. x = 2^m * p.
- Подставлям икс в выше полученную формулу и смотрим вот на такого крокодила: (2^m*p)^(2*2^m*p) = (2^(m+1)*p)^z
- Вытаскиваем p наружу, смотрим чуть пристальнее и видим, что p!=1 только при условии x=0. Что нам совершенно неинтересно. То есть, про p можно забыть, он равен единице.
- Следовательно, x=2^m. Осталось совсем чуть-чуть. Убираем двойку «снизу» и смотрим только на степени: m*2^(m+1) = (m+1)*z
- Из чего следует, что z делится на m, а (m-1) = степень двойки. И количество решений бесконечно:
m = 2^i - 1
x=y = 2^m
z = m*2^(m+1) / (m+1)
Проверяем для нескольких i=1,2,3 =>
i=1: m=1, x=y=z=2 (уже было выше).
i=2: m=3, x=y=8, z=12.
i=3: m=7, x=y=128, z=224 <- да, подходит.
Всё.
-----
Задачка 3-лёгкая. Есть числа 1,2,3,...,19. Сколькими различными способами можно их переставить так, чтобы в результате записи их подряд без пробелов получился палиндром-перевёртыш?
Решение: Сначала внимательно смотрим на набор имеющихся чисел:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Там есть единственный ноль. То есть, чтобы получился перевёртыш, этот ноль должен стоять точно посередине. От него и начнём плясать:
...10...
Слева от нуля стоит единица. Это значит, что и справа тоже должна стоять единица. Если это просто ‘1’, то поставить за ней любое ‘1?’ приводит к тому, что слева надо поставить ‘11’ - а далее никак, поскольку две единицы никак не получаются из «скрещивания» оставшихся чисел. То есть, можно поставить только ‘?’ - и там быстро приходим к невозможности дальнейшего «наращивания» полиндрома. То есть, возможна только такая конструкция:
...a 10 1a ...
И так далее. В результате получаем вот такой набор возможных вариантов:
i 1h g 1f e 1d c 1b a 10 1a b 1c d 1e f 1g h 1i
Где {a,b,c,d,e,f,g,h,i} = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} во всех возможных вариациях. То есть, количество «перевёртышей» будет 9!=362880. Всё.
=== 4 ===
Задачка 4. Найти все целые решения уравнения y² = x³ + 1
Решение: Раскладываем изначальное уравнение на множители:
y2 = x3 + 1 = (x + 1)(x2 - x + 1)
То есть, (x + 1)(x2 - x + 1) есть квадрат какого-то числа. Берём наибольший общий делитель k=НОД(x+1, x2 - x + 1) и выносим его за скобки.
x + 1 = k*m2
x2 - x + 1 = k*n2
Потом еще чуть мат-алхимии: x2 - x + 1 = (x + 1)(x - 2) + 3 , затем заменяем x + 1 = k*m2 и подставляем во второе уравнение x2 - x + 1 = k*n2. Получается k*(n2 - m2 * (x-2)) = 3, далее уже проще: перебор всех возможных целых делителей тройки: k={-1,1,-3,3}. Отбрасываем нерешабельные варианты (в целых числах) и на выходе получаем решения: (x,y) = (0, +/-1), (+/-3, 2).
Подробнее здесь.
-----
Задачка 4-лёгкая. Доказать, что если x + 2ˣ = y + 2ʸ то => x + sin(x) = y + sin(y)
Решение: Элементарно. Если x>y (или наоборот), то 2x>2y (и наоборот). То есть, если x!=y то x + 2x != y + 2y
Следовательно, x=y, а тогда можно не только синусы с косинусами, но и вообще какие угодно функции к ним применять.
Есть и другие тоже правильные решения.
=== 5 ===
Задачка 5. Решить в натуральных числах (x,y,a,n,m) вот такую красивую систему:
x + y = aⁿ
x² + y² = aᵐ
Решение: Если посмотреть на систему уравнений как на графики функций, то первое уравнение - это прямая, а второе - это окружность. Соответственно, решением системы может быть пересечение окружности с касательной (там решение и есть, причём их много) либо пересечение окружности прямой (там решений нет - и это доказывается).
Решение по касательной: x=y=2^(n-1), a=2, m=2n-1 для всех натуральных n.
Отсутствие решений в натуральных числах на пересечениях следуют из внимательного осмотра картинки (окружность и пересекающая её прямая), а также синусов и косинусов получаемых там треугольников.
Подробнее и с рассуждениями здесь.
-----
Задачка 5-лёгкая.
Два забаненных ЖЖ-администрацией блогера каждый день кидают монетку (каждый свою) и угадывают орёл или решка у другого блогера. Если хотя бы один угадывает - их аккаунты сохраняются еще на один день. Если оба не угадали - всё, конец истории. При этом блогеры забанены и не могут общаться друг с другом. Но после объявления условия они таки успели послать друг другу мессаги и о чём-то договорились. Вопрос такой: могут ли они протянуть достаточно долго, чтобы администация ЖЖ забыла обиду и вернула их из бана?
Решение: Да, конечно могут. Первый блогер всегда говорит «орёл» или «решка» по результату своего броска, а второй всегда говорит обратное по своему результату. В результате хотя бы один из них оказывается прав. Переберём варианты. Им выпадает:
решка-решка => первый угадал.
решка-орёл => второй угадал.
орёл-решка => второй угадал.
орёл-орёл => первый угадал.
Всё. Немного скучновато так жить, но протянуть можно достаточно долго :)
=== 6 ===
Задачка 6. Решить в натуральных числах уравнение (1 + nᵃ)ᵇ = 1 + nᶜ, b>1
Решение: Достаточно длинное, через бином Ньютона и сокращение лишнего. Если любопытно, то с этой задачкой мучались здесь.
-----
Задачка 6-лёгкая. N-46 и N+37 - полные квадраты, найти N.
Решение: Это просто. Пусть N-46 = x2, а N+37 = y2. Тогда:
y2 - x2 = (y-x)*(y+x) = 83 = 1*83 (разложение на множители). Кто-то из множителей единица, второй = 83. Нетрудно видеть, что {x;y} = {42;41} => N+37 = 42^2 = 1764 => N=1727.
=== 7 ===
Вне конкурса.
Задачка 7. Найти все целые решения: y² = x³ - 1
Решение: Убойное! задачка эта решается либо через комплексные пространства и навороченными формулами.. или же просто навороченными доказательствами через леммы и теоремы. Кому любопытно, то можно ознакомиться здесь.
Я сам не понял как там оно доказывается :)
А вот мы и подошли к самой волнующей части мат-блиц-марафона! Кто пораскинул мозгами дальше и глубже всех и дотянулся до ценных призов? :)
Ну, давайте снова считать...
Задачка1: Gr Bear 5, mikluha_maklai 3, bar_suk 2, Ведро Помоев 1. Иван Прокушкин 1.
Задачка1-лёгкая: по 1 surikata_tver, mikluha_maklai, kostichek.
Задачка2: sir_derryk 5, Gr Bear 3, surikata_tver 2, burdaklak 1. pyka_npu3paka 1. Ведро Помоев 1. Иван Прокушкин 1.
Задачка2-лёгкая: kostichek 1.
Задачка3: ---
Задачка3-лёгкая: ---
Задачка4: ---
Задачка4-лёгкая: mikluha_maklai 1. kostichek 1. surikata_tver 1.
Задачка5: ---
Задачка5-лёгкая: kostichek 1. surikata_tver 1.
Задачка6: ---
Задачка6-лёгкая: legantmar 1. mikluha_maklai 1. kostichek 1.
Итого получается:
Первое место - 8 баллов - Gr Bear.
Второе место - 6 баллов - mikluha_maklai.
Третье место - 5 баллов - Ого! А на третье место запрыгнули сразу три участника: sir_derryk, surikata_tver и kostichek - у всех по 5 баллов. Как знал - подписал книжек больше, чем предполагалось!
Поздравляю! Молодцы! С вами свяжутся для пересылки ценных призов. Напоминаю, что все остальные участники кто дал хотя бы один правильный ответ получают поощрительный приз - защиту от спамеров для умнофонов Who Calls.
По итогам прошедшего мероприятия предлагаю признать этот первый опыт успешно преодолевшим состояние кома первого блина :) Пишите в комментариях ваши мысли насчёт развития идеи. Ура!