Субботний мат-блиц-марафон. Задачка-5 с пятью неизвестными.

[e_kaspersky]

Всех доживших до этого уровня - поздравляю с успехами! Наверное, пришло время ещё задачек подкинуть. Цитирую классика: «Пивная! Ещё парочку!» =>

===>

Задачка 5. Решить в натуральных числах (x,y,a,n,m) вот такую красивую систему:

x + y = aⁿ
x² + y² = aᵐ

-----

Задачка 5-лёгкая.

Однажды администрация ЖЖ забанила двух блогеров. Им сказали, что

Comments

[kostichek]

Задачка 5-лёгкая.

Первый называет при угадывании ровно ту сторону, что выпала у него, второй, наоборот, называет противоположную сторону, нежели выпало у него.

Если выпали одинаковые стороны монеты у обоих блогеров, то первый угадал. Если выпали разные - то угадал второй, ибо он противоположную называет.

[e_kaspersky]

Верно. +1 балл.

[surikata_tver]

Как минимум подходят

a = 2
x = y = 2^k
n = k + 1
m = 2k + 1 (k -- любое натуральное)

(был еще вариант с нулями, но числа должны быть натуральными, удалила его)

[e_kaspersky]

А почему другие не подходят?
Для полноценного решения нужно пояснить и это тоже.

[legantmar]

x, y, a, n, m
1 1 2 1 1
2 2 2 2 3
4 4 2 3 5
8 8 2 4 7
16 16 2 5 9
32 32 2 6 11
64 64 2 7 13
...
Вывод - решений может быть очень много
закономерности:
x и y - удваиваются,
a - всегда 2,
n - увеличивается на 1,
m - нечетное увеличивающееся значение
действительно красивая система

[kostichek]

Задачка 5. Решить в натуральных числах (x,y,a,n,m) вот такую красивую систему:

x + y = aⁿ
x² + y² = aᵐ

Ответ:
1 + 1 = 2¹
1² + 1² = 2¹

2 + 2 = 2²
2² + 2² = 2³

4 + 4 = 2ⁿ, n = 3
4² + 4² = 2ᵐ, m = 5

8 + 8 = 2ⁿ, n = 4
8² + 8² = 2ᵐ, m = 7

В общем виде,
x = y = 2^i, a = 2, где i = 0, 1, 2, 3...

x + y = 2^i + 2^i = 2^(i+1), то есть n = i + 1
x^2 + y^2 = 2^(2i) + 2^(2i) = 2^(2i+1), то есть m = 2i + 1

[e_kaspersky]

Почему нет других решений?

[mikluha_maklai]

Задачка 5. Ответ.
x=2^z, y=2^z, a=2, n=z+1, m=2z+1, where z=0,1,2,...

[e_kaspersky]

А вдруг есть ещё решения?