Субботний мат-блиц-марафон. Задачка-4, которая только выглядит просто.

[e_kaspersky]

Жизнь должна быть прекрасной и удивительной! Прекрасна она по определению, поскольку за окном тёплый (а где-то наверняка и ярко-солнечный) летний денёчек, а удивительной её делает четвёртая порция задачек нашего субботнего мат-блиц-марафона. Вот таких:

===>

Задачка 4. Найти все целые решения уравнения y² = x³ + 1

-----

Задачка 4-лёгкая.

Comments

[mikluha_maklai]

Задачка 4-лёгкая. Решение
Функция Z=x монотонно возрастает. Функция Z=2ˣ монотонно возрастает. Значит и функция Z=хЪ2ˣ монотонно возрастает. Значит, из x + 2ˣ = y + 2ʸ следует x=y и x + sin(x) = y + sin(y).

[e_kaspersky]

Само собой, это же совсем простая задачка :)

[mikluha_maklai]

Задачка 4. Решения
x=0, y=1
x=0, y=-1
x=-1, y=0
x=2, y=3
x=2, y=-3

[dincolo]

"Если решается легко, значит решается неправильно" и мое главное правило))

[e_kaspersky]

Золотые слова!
Жаль, что не все внимательно прочитали эту надпись на картинке :)

[mikluha_maklai]

Задачка 4. Решение.
Перепишем уравнение в виде
x³=(y+1)(y-1)
Очевидно, что при |y| > 3 решений быть не может: (y+1) и (y-1) не могут нацело делиться друг на друга и не могут оба быть кубами. Значит, остается перебрать |y| = 0,1,2,3 и получить решения:
x=0, y=1
x=0, y=-1
x=-1, y=0
x=2, y=3
x=2, y=-3

[e_kaspersky]

> (y+1) и (y-1) не могут нацело делиться друг на друга и не могут оба быть кубами

А почему не может случиться что-то вроде y+/-1 = (a^2*b , a*b^2) ?
Непонятно..

[surikata_tver]

x^3 + 1 = (x + 1) (x^2 - x + 1)
Решаем уравнение х + 1 = x^2 - x + 1.
Корни x = 0, x = 2 => y^2 = 1, y^2 = 9

P.S. Тут я корни забыла извлечь сначала. Итого: (0,1), (0, -1), (2;3), (2; -3)
А еще (-1;0)

Над доказательством, что других нет, подумаю позже :)

[e_kaspersky]

> Решаем уравнение х + 1 = x^2 - x + 1.

А почему они должны быть равны? А вдруг это такие хитрые числа, что их произведение даст квадрат?