Ромео, Джульетта и Микки-Маус против клизмы.
Сегодняшняя задачка на злободневное:
Однажды блогеров Ивана, Марью, Ромео, Джульетту и Микки-Мауса посадили в карантин. Раз в день санитары выбирают случайного из них и ведут на процедуры. В процедурной есть выключатель и лампочка, которую можно включить или выключить. Как только кто-либо из блогеров понимает, что все остальные хотя бы по разу побывали на процедурах - то сразу идёт к главврачу и говорит об этом. Если угадал - всех выпускают на свободу, нет - всем делают клизму и карантин начинается с нуля.
Карантин жёсткий: все в одиночных палатах, мобилы отобрали, интернетов тоже нет, QR-коды на автотранспорт заказать нельзя. Обмениваться информацией тоже никак. Но пока их везли в больницу они успели договориться о стратегии, смогли выяснить когда всех «отпроцедурили», им вернули мобилы, они вышли на свободу и отбложились по этому поводу. Как они это сделали?
Справитесь? А сколько им в среднем времени на это потребуется? А если их в карантине 10? А если 100? Просто любопытно. Можно даже программу на эту тему написать :) Когда они с 50% вероятностью закончат карантин - ага?
На всякий случай поясняю условия:
- процедуры проводятся только для одного из них и только раз в день;
- санитары выбирают кого-то совершенно случайно;
- нацарапать на стене «здесь был ваня» нельзя - шутники-санираты допишут «маша и все остальные» => сразу клизма и карантин по новой.
Дерзайте!
А я дерзну рассказать решение предыдущего математически-археологического наследия им.Евклида.
Задачка 1. Евклид доказал, что если 2n - 1 - простое число, то 2(n - 1) * (2n - 1) - совершенное (n - натуральное число, само собой). Получится ли нам самостоятельно доказать этот факт? Умнее ли мы Евклида или же всё ещё нет?
Решение: 2(n - 1) * (2n - 1), где 2n - 1 - простое число можно записать вот так: 2(n - 1) * p - какие у него делители? Все степени двойки, простое p тоже делитель, а также все степени двойки, умноженные на p (кроме самого проверяемого числа). Вот такой ряд получается:
1, 2, 4, ... 2(n-1), p, 2*p, 4*p, 2(n-2)*p
Ещё могут у него быть делители? Да откуда им взяться? На другие простые числа кроме 2 и p наше число не делится. Теперь остаётся просуммировать этот ряд и посмотреть на результат. 1,2,4... - это геометрическая прогрессия, сумма которой считается по простой формуле. Для двойки эта формула будет такой:
1 + 2 + 4 + ... + 2(n-1) = 2n - 1
То есть, искомая сумма всех делителей равна...
2n - 1 + p*(2(n-1) - 1) = 2n - 1 + (2n - 1)*(2(n-1) - 1) =
= 2n - 1 + 2(2n-1) - 2n - 2(n-1) + 1 = 2(2n-1)- 2(n-1) = 2(n-1) * (2n - 1)
И... получили тоже самое чисто. То есть, сложили все делители числа 2(n-1)*(2n-1) и получили ровно тоже самое число. То есть, числа такого вида являются совершенными.
Привет Евклиду!
Задачка 2. Доказать, что все чётные совершенные числа имеют вид 2(n - 1) * (2n - 1), где 2n - 1 - простое.
Решение у меня получилось какое-то непростое, наверное, не самое оптимальное. Да и не факт что правильное :) Рассуждения на эту тему можно найти вот здесь.
Задачка 3. Доказать, что нечётных совершенных чисел не существует.
Решение: Поиском нечётных совершенных чисел занимается проект распределённых вычислений oddperfect.org - но пока ни одного такого числа не найдено, также ни доказано, ни опровергнуто их существование... да и сайт этого проекта уже мёртвый. Подробнее про такие числа можно полюбопытствовать вот здесь.
А кто в решении этой задачки показал себя молодцом? :) Конечно bar_suk! Поздравляю!
А заодно давайте посмотрим на правильные ответы ещё одной недавней задачки на сообразительность и ориентацию в пространстве.
Разумеется, это не совсем Галапагосы. Это здесь. Кстати, чудное место! Я там был ровно два года назад! Отличное местечко покарантинить... 50 оттенков синего.
Вторая загадка: что не так на этой фотке?
На самом деле Эльбрус здесь отзеркален. Гора с севера выглядит вот так: слева - восточная вершина, справа - западная.
И третья загадка: где сделана эта фотка?
Судя по мусору на дороге и узкой улочке налево, похоже на Лондон. Грузовик "праворукий" (по дворникам видно) - подходит ("леворуких евро-грузовиков в Лондоне не припомню, а машины бывают. Кстати, что первая машина леворукая - это обманка). Что там на вывеске написано? "Anje"? Ничего... Ага, там две точки над названием! Arije - есть такое! И в Лондоне есть. Но что-то в гугле как-то не так выглядит.
А в других источниках - точно так.
Ага! Предыдущая фотка 2012 года, они переехали. Вот сюда: 165 Sloane St, London.
И у нас снова есть молодцы, которые справились с поставленными задачами: lilo_jacob nagel_neu Alex Kondrasovas.
Однажды блогеров Ивана, Марью, Ромео, Джульетту и Микки-Мауса посадили в карантин. Раз в день санитары выбирают случайного из них и ведут на процедуры. В процедурной есть выключатель и лампочка, которую можно включить или выключить. Как только кто-либо из блогеров понимает, что все остальные хотя бы по разу побывали на процедурах - то сразу идёт к главврачу и говорит об этом. Если угадал - всех выпускают на свободу, нет - всем делают клизму и карантин начинается с нуля.
Карантин жёсткий: все в одиночных палатах, мобилы отобрали, интернетов тоже нет, QR-коды на автотранспорт заказать нельзя. Обмениваться информацией тоже никак. Но пока их везли в больницу они успели договориться о стратегии, смогли выяснить когда всех «отпроцедурили», им вернули мобилы, они вышли на свободу и отбложились по этому поводу. Как они это сделали?
Справитесь? А сколько им в среднем времени на это потребуется? А если их в карантине 10? А если 100? Просто любопытно. Можно даже программу на эту тему написать :) Когда они с 50% вероятностью закончат карантин - ага?
На всякий случай поясняю условия:
- процедуры проводятся только для одного из них и только раз в день;
- санитары выбирают кого-то совершенно случайно;
- нацарапать на стене «здесь был ваня» нельзя - шутники-санираты допишут «маша и все остальные» => сразу клизма и карантин по новой.
Дерзайте!
А я дерзну рассказать решение предыдущего математически-археологического наследия им.Евклида.
Задачка 1. Евклид доказал, что если 2n - 1 - простое число, то 2(n - 1) * (2n - 1) - совершенное (n - натуральное число, само собой). Получится ли нам самостоятельно доказать этот факт? Умнее ли мы Евклида или же всё ещё нет?
Решение: 2(n - 1) * (2n - 1), где 2n - 1 - простое число можно записать вот так: 2(n - 1) * p - какие у него делители? Все степени двойки, простое p тоже делитель, а также все степени двойки, умноженные на p (кроме самого проверяемого числа). Вот такой ряд получается:
1, 2, 4, ... 2(n-1), p, 2*p, 4*p, 2(n-2)*p
Ещё могут у него быть делители? Да откуда им взяться? На другие простые числа кроме 2 и p наше число не делится. Теперь остаётся просуммировать этот ряд и посмотреть на результат. 1,2,4... - это геометрическая прогрессия, сумма которой считается по простой формуле. Для двойки эта формула будет такой:
1 + 2 + 4 + ... + 2(n-1) = 2n - 1
То есть, искомая сумма всех делителей равна...
2n - 1 + p*(2(n-1) - 1) = 2n - 1 + (2n - 1)*(2(n-1) - 1) =
= 2n - 1 + 2(2n-1) - 2n - 2(n-1) + 1 = 2(2n-1)- 2(n-1) = 2(n-1) * (2n - 1)
И... получили тоже самое чисто. То есть, сложили все делители числа 2(n-1)*(2n-1) и получили ровно тоже самое число. То есть, числа такого вида являются совершенными.
Привет Евклиду!
Задачка 2. Доказать, что все чётные совершенные числа имеют вид 2(n - 1) * (2n - 1), где 2n - 1 - простое.
Решение у меня получилось какое-то непростое, наверное, не самое оптимальное. Да и не факт что правильное :) Рассуждения на эту тему можно найти вот здесь.
Задачка 3. Доказать, что нечётных совершенных чисел не существует.
Решение: Поиском нечётных совершенных чисел занимается проект распределённых вычислений oddperfect.org - но пока ни одного такого числа не найдено, также ни доказано, ни опровергнуто их существование... да и сайт этого проекта уже мёртвый. Подробнее про такие числа можно полюбопытствовать вот здесь.
А кто в решении этой задачки показал себя молодцом? :) Конечно bar_suk! Поздравляю!
А заодно давайте посмотрим на правильные ответы ещё одной недавней задачки на сообразительность и ориентацию в пространстве.
Разумеется, это не совсем Галапагосы. Это здесь. Кстати, чудное место! Я там был ровно два года назад! Отличное местечко покарантинить... 50 оттенков синего.
Вторая загадка: что не так на этой фотке?
На самом деле Эльбрус здесь отзеркален. Гора с севера выглядит вот так: слева - восточная вершина, справа - западная.
И третья загадка: где сделана эта фотка?
Судя по мусору на дороге и узкой улочке налево, похоже на Лондон. Грузовик "праворукий" (по дворникам видно) - подходит ("леворуких евро-грузовиков в Лондоне не припомню, а машины бывают. Кстати, что первая машина леворукая - это обманка). Что там на вывеске написано? "Anje"? Ничего... Ага, там две точки над названием! Arije - есть такое! И в Лондоне есть. Но что-то в гугле как-то не так выглядит.
А в других источниках - точно так.
Ага! Предыдущая фотка 2012 года, они переехали. Вот сюда: 165 Sloane St, London.
И у нас снова есть молодцы, которые справились с поставленными задачами: lilo_jacob nagel_neu Alex Kondrasovas.