О губернаторах, тестах, и вероятностях.
Вот тут рассматривается одна весёлая задачка по теории вероятностей.
Краткое содержание такое: Имеется тест (по русскому языку), состоящий из 116 пунктов, каждый по 1 баллу. По ошибке составителя (которого будем называть "губернатором") в тесте имеется 8 "плохих" пунктов - таких, за которые баллы начисляются за неправильные ответы. Предположим что некоторый воображаемый участник набрал в таком тесте 102 балла. Спрашивается с какой вероятностью он грамотнее губернатора?
За ссылкой решающие приходят к выводу, что эта вероятность близка к нулю. Но при этом они (сами того не подозревая?) исходят из крайне неадекватной вероятностной модели, состоящей в том, что участник заполняет тест "наугад", а потом расматривается условная вероятность, что он набрал таки 102 балла. Ничего удивительного, что при таком способе заполнения теста испытуемый оказывается безграммотным :)
Я же предлагаю другую, тоже очень простую, но, кажется, более адекватную модель. Будем считать, что участник правильно отвечает на каждый пункт теста с некоторой вероятностью p, одинаковой для всех пунктов. Мы можем оценить эту вероятность исходя из набранного результата - 102 балла. Из формулы
102 = 108 p + 8 (1 - p)
получаем оценку p = 0.94. Для сравнения, у губернатора есть "свое"
p* = 108/116 = 0.931...
Теперь вычислим вероятность того, что участник допустил менее 8 ошибок. Обозначим через k количество ошибок (с точки зрения русского языка) среди "плохих" пунктов. Посколько результат участника составляет 102 из 116, то можно посчитать, что суммарное количество ошибок равно 6 + 2 k. Отсюда видно, что испытуемый грамотнее губернатора только при k = 0, а при k = 1 их способности с губернатором равны. Итак
P(k = 0) ~ p^8 = 0.609...
P(k = 1) ~ 8 p^7 (1-p) = 0.311...
Равенства приближенные по двум причинам. Во-первых, 0.94 это лишь наша оценка "истинного" значения p. А во-вторых, мы считаем безусловные вероятности, а, формально, должны бы были наложить условие, что в итоге набрано 102 балла. Но я не думаю, что между событиями {k = n} и {результат 102 балла} имеется существенная зависимость, всё таки 108 намного больше 8-ми.
Итак ответ. Участник (строго :) грамотнее губернатора с вероятностью 61%. Он не уступает губернатору способностях с вероятностью 92%.
Краткое содержание такое: Имеется тест (по русскому языку), состоящий из 116 пунктов, каждый по 1 баллу. По ошибке составителя (которого будем называть "губернатором") в тесте имеется 8 "плохих" пунктов - таких, за которые баллы начисляются за неправильные ответы. Предположим что некоторый воображаемый участник набрал в таком тесте 102 балла. Спрашивается с какой вероятностью он грамотнее губернатора?
За ссылкой решающие приходят к выводу, что эта вероятность близка к нулю. Но при этом они (сами того не подозревая?) исходят из крайне неадекватной вероятностной модели, состоящей в том, что участник заполняет тест "наугад", а потом расматривается условная вероятность, что он набрал таки 102 балла. Ничего удивительного, что при таком способе заполнения теста испытуемый оказывается безграммотным :)
Я же предлагаю другую, тоже очень простую, но, кажется, более адекватную модель. Будем считать, что участник правильно отвечает на каждый пункт теста с некоторой вероятностью p, одинаковой для всех пунктов. Мы можем оценить эту вероятность исходя из набранного результата - 102 балла. Из формулы
102 = 108 p + 8 (1 - p)
получаем оценку p = 0.94. Для сравнения, у губернатора есть "свое"
p* = 108/116 = 0.931...
Теперь вычислим вероятность того, что участник допустил менее 8 ошибок. Обозначим через k количество ошибок (с точки зрения русского языка) среди "плохих" пунктов. Посколько результат участника составляет 102 из 116, то можно посчитать, что суммарное количество ошибок равно 6 + 2 k. Отсюда видно, что испытуемый грамотнее губернатора только при k = 0, а при k = 1 их способности с губернатором равны. Итак
P(k = 0) ~ p^8 = 0.609...
P(k = 1) ~ 8 p^7 (1-p) = 0.311...
Равенства приближенные по двум причинам. Во-первых, 0.94 это лишь наша оценка "истинного" значения p. А во-вторых, мы считаем безусловные вероятности, а, формально, должны бы были наложить условие, что в итоге набрано 102 балла. Но я не думаю, что между событиями {k = n} и {результат 102 балла} имеется существенная зависимость, всё таки 108 намного больше 8-ми.
Итак ответ. Участник (строго :) грамотнее губернатора с вероятностью 61%. Он не уступает губернатору способностях с вероятностью 92%.