Эзотерическая математика
О последних математических работах Лейбница
Все эти работы связаны с тем, что называется логикой. Под этим термином сейчас понимают совершенно разные вещи. Есть математическая дисциплина, которая называется математической логикой, и есть логика философская. Это не одно и то же, хотя определённые пересечения случаются. В те времена математической логики ещё не было (её создателем часто называют Лейбница). Логика была одна. Создателем её считался Аристотель, а средневековые философы, много занимавшиеся логикой, считали себя её продолжателями. Работы Лейбница по логике- не большие трактаты, а множество небольших заметок и писем. Основную идею этих трактатов Рассел формулирует так.
… он всю жизнь лелеял надежду открыть своего рода обобщенную математику, названную им "Characteristica Universalis", с помощью которой можно было бы заменить мышление исчислением. “Если бы она была у нас, - говорил он, - мы бы имели возможность рассуждать в области метафизики и нравственности так же, как мы делаем это в области геометрии и математического анализа". “Если бы возникли противоречия, нужды в спорах между двумя философами было бы не больше, чем между двумя счетоводами, так как им было бы достаточно взять в руки карандаш, сесть за грифельные доски и сказать друг другу (если они хотят, при наличии доброжелательного свидетеля): давайте подсчитаем".
Эта идея выглядит совершенно безумной. Ведь слово «подсчитаем» в данном контексте совсем не метафора, заменяющая слова «подумаем» или «поанализируем», а достаточно точное выражение предлагаемого действия. Вы хотите мы узнать, кто лучше: Петя или Вася? Нет ничего проще! Выписываем соответствующие формулы (формулу Пети, формулу Васи, формулу «хорошо»), поработаем с символами и ответ готов. Вам хочется знать, будет ли война между Соединёнными Штатами и Ираном, и, если будет, то кто в ней выиграет. То же самое: формула Америки, формула Ирана, формула войны и победы и небольшой счёт. На чём же была основана такая вера Лейбница во всесилие математического мышления? Ответ на этот вопрос звучит совершенно неожиданно и, как мне кажется, он способен не оттолкнуть, а привлечь к Лейбницу людей, далёких от математики. Вдумаемся ещё раз во фразу В.И. Арнольда
Он считал, что вся математика, так же, как и вся наука, находится внутри нас, и с помощью одной философии можно до всего додуматься, если внимательно прислушаться к процессам, происходящим внутри нашего разума.
В этом то всё и дело: внутри нашего разума! В монаде есть всё знание о мире, какое только возможно. Поэтому нет никакой принципиальной необходимости изучать внешний мир или вообще наблюдать его. Такая необходимость возникает только потому, что мы не умеем достаточно глубоко заглядывать внутрь себя. Лейбниц говорил так:
Мы обладаем бесконечным множеством знаний, которых не помним и не сознаём даже тогда, когда в них нуждаемся.
При таком подходе действительно не нужно ничего знать ни про Петю, ни про Иран, потому что мы и так знаем про них всё. Надо только научиться извлекать из себя эти знания. И, по мнению Лейбница, именно математическое мышление представляет собой самый надёжный инструмент извлечения этого глубинного знания из недр сознания. Для этого нужно только построить то, что он называет «универсальным исчислением» или «всеобщей характеристикой». Как же Лейбниц представляет себе эту «математику всего»? Начать он предлагает так. Занумеруем все используемые нами понятия. Причём это нужно сделать так, чтобы номер каждого сложного понятия был произведением номеров входящих в него понятий. Например, если понятие «животное» занумеровано числом 2, а понятие «разум» числом 3, то понятие «человек» должно непременно обозначаться числом 6. Дальше Лейбниц строит правила, которые позволяют по номерам этих чисел, выводить утверждения о соответствующих понятиях. Например,
«если номер понятия А делится на номер понятия В, то все примеры А есть примеры В»
или
«если номер понятия А делится на номер понятия В, то некоторые В есть А».
Приведённые примеры с понятиями «человек» и «животное» хорошо иллюстрируют эти правила. Есть у Лейбница правила и посложнее, но, конечно, никакого универсального исчисления у него не получилось. Да он и не пытался его строить. Констатировал принципиальную возможность, порадовался ей, выдвинул идею нумерации понятий и правила работы с этими номерами, вот и всё. Зато получилась новая математическая дисциплина «математическая логика», в рамках которой действительно изучаются правила, по которым нужно строить математические рассуждения, чтобы они были правильными. Точнее, этим занимается начальная часть математической логики, которая называется алгеброй высказываний. Начало математической логики находят в работах Буля и Даджсона, английских математиков 19-го века. Если бы Лейбниц опубликовал свои работы по «универсальному» исчислению, она появилась бы на полтора столетия раньше. Почему он не пытался этого сделать? Скорее всего, вне философского контекста они для него были малоинтересны, а «математика всего» не получилась.
Есть ещё один очень интересный эпизод истории математики, напрямую связанный с работами Лейбница по математической логике. В начале 20-го века опубликованные уже к тому времени работы Лейбница изучал молодой австрийский математик Курт Гёдель. Цели его были абсолютно противоположны целям Лейбница. Лейбниц мечтал построить универсальное исчисление, которое позволяло бы автоматически получать ответы на все проблемы жизни. Гёдель хотел доказать, что такое невозможно даже в математике. К тому времени математическая логика была достаточно развита. Были разработаны так называемые аксиомы и правила вывода, причём существовали достаточно веские аргументы в пользу того, что их нужно брать именно так, а не иначе. Та точка зрения, согласно которой в рамках математической теории все верные утверждения можно вывести по этим правилам формально, была достаточно распространённой. Среди её сторонников был, например, один из величайших математиков 20-го века Давид Гильберт. В результате исследований Гёделя родилась «теорема о неполноте», которая утверждает, что в рамках любой математической теории можно сформулировать с соблюдением всех правил утверждение, которые невозможно формально ни доказать, ни опровергнуть. Интересно, что при этом Гёдель использовал идею нумерации утверждений, восходившую к Лейбницу. Но нумеровал он не все понятия в мире, а только все утверждения некоторой математической теории. О философских аспектах теоремы Гёделя говорят очень много. Её рассматривают как приговор формальному схематическому мышлению, которое оказывается весьма ограниченным даже в рамках математики. Известный современный математик академик А.Н. Паршин говорит так «Некоторые математики считают, что жизнь была бы приятнее, если бы теоремы Гёделя не было. Я считаю, что если бы не было теоремы Гёделя, жизнь не была бы приятнее, жизни бы просто не было»
Чем Лейбниц принципиально отличался от Декарта и Паскаля, двух других величайших математиков и философов 17-го века? Я бы ответил на этот вопрос так. Декарт и Паскаль были абсолютно цельными людьми. Из потребности в ясности родилась и аналитическая геометрия, и сogito ergo sum. Из взрывчатости мышления Паскаля выросли и его математические достижения, и наиболее яркие страницы «Мыслей». Но в Лейбнице как будто жило два человека. Один - фантазёр с несомненной склонностью к художественному мышлению. Некоторые страницы «Монадологии» читаются как стихи, где автор даже не пытается дать своим мыслям логическую аргументацию. Другой - логик-схематик, мечтающий формализовать весь процесс человеческого познания. Общее у этих двух Лейбницев, пожалуй, только одно: способность полностью, безоглядно отдаваться полёту даже самой странной мысли, если она оказывается неожиданной и красивой.
Все эти работы связаны с тем, что называется логикой. Под этим термином сейчас понимают совершенно разные вещи. Есть математическая дисциплина, которая называется математической логикой, и есть логика философская. Это не одно и то же, хотя определённые пересечения случаются. В те времена математической логики ещё не было (её создателем часто называют Лейбница). Логика была одна. Создателем её считался Аристотель, а средневековые философы, много занимавшиеся логикой, считали себя её продолжателями. Работы Лейбница по логике- не большие трактаты, а множество небольших заметок и писем. Основную идею этих трактатов Рассел формулирует так.
… он всю жизнь лелеял надежду открыть своего рода обобщенную математику, названную им "Characteristica Universalis", с помощью которой можно было бы заменить мышление исчислением. “Если бы она была у нас, - говорил он, - мы бы имели возможность рассуждать в области метафизики и нравственности так же, как мы делаем это в области геометрии и математического анализа". “Если бы возникли противоречия, нужды в спорах между двумя философами было бы не больше, чем между двумя счетоводами, так как им было бы достаточно взять в руки карандаш, сесть за грифельные доски и сказать друг другу (если они хотят, при наличии доброжелательного свидетеля): давайте подсчитаем".
Эта идея выглядит совершенно безумной. Ведь слово «подсчитаем» в данном контексте совсем не метафора, заменяющая слова «подумаем» или «поанализируем», а достаточно точное выражение предлагаемого действия. Вы хотите мы узнать, кто лучше: Петя или Вася? Нет ничего проще! Выписываем соответствующие формулы (формулу Пети, формулу Васи, формулу «хорошо»), поработаем с символами и ответ готов. Вам хочется знать, будет ли война между Соединёнными Штатами и Ираном, и, если будет, то кто в ней выиграет. То же самое: формула Америки, формула Ирана, формула войны и победы и небольшой счёт. На чём же была основана такая вера Лейбница во всесилие математического мышления? Ответ на этот вопрос звучит совершенно неожиданно и, как мне кажется, он способен не оттолкнуть, а привлечь к Лейбницу людей, далёких от математики. Вдумаемся ещё раз во фразу В.И. Арнольда
Он считал, что вся математика, так же, как и вся наука, находится внутри нас, и с помощью одной философии можно до всего додуматься, если внимательно прислушаться к процессам, происходящим внутри нашего разума.
В этом то всё и дело: внутри нашего разума! В монаде есть всё знание о мире, какое только возможно. Поэтому нет никакой принципиальной необходимости изучать внешний мир или вообще наблюдать его. Такая необходимость возникает только потому, что мы не умеем достаточно глубоко заглядывать внутрь себя. Лейбниц говорил так:
Мы обладаем бесконечным множеством знаний, которых не помним и не сознаём даже тогда, когда в них нуждаемся.
При таком подходе действительно не нужно ничего знать ни про Петю, ни про Иран, потому что мы и так знаем про них всё. Надо только научиться извлекать из себя эти знания. И, по мнению Лейбница, именно математическое мышление представляет собой самый надёжный инструмент извлечения этого глубинного знания из недр сознания. Для этого нужно только построить то, что он называет «универсальным исчислением» или «всеобщей характеристикой». Как же Лейбниц представляет себе эту «математику всего»? Начать он предлагает так. Занумеруем все используемые нами понятия. Причём это нужно сделать так, чтобы номер каждого сложного понятия был произведением номеров входящих в него понятий. Например, если понятие «животное» занумеровано числом 2, а понятие «разум» числом 3, то понятие «человек» должно непременно обозначаться числом 6. Дальше Лейбниц строит правила, которые позволяют по номерам этих чисел, выводить утверждения о соответствующих понятиях. Например,
«если номер понятия А делится на номер понятия В, то все примеры А есть примеры В»
или
«если номер понятия А делится на номер понятия В, то некоторые В есть А».
Приведённые примеры с понятиями «человек» и «животное» хорошо иллюстрируют эти правила. Есть у Лейбница правила и посложнее, но, конечно, никакого универсального исчисления у него не получилось. Да он и не пытался его строить. Констатировал принципиальную возможность, порадовался ей, выдвинул идею нумерации понятий и правила работы с этими номерами, вот и всё. Зато получилась новая математическая дисциплина «математическая логика», в рамках которой действительно изучаются правила, по которым нужно строить математические рассуждения, чтобы они были правильными. Точнее, этим занимается начальная часть математической логики, которая называется алгеброй высказываний. Начало математической логики находят в работах Буля и Даджсона, английских математиков 19-го века. Если бы Лейбниц опубликовал свои работы по «универсальному» исчислению, она появилась бы на полтора столетия раньше. Почему он не пытался этого сделать? Скорее всего, вне философского контекста они для него были малоинтересны, а «математика всего» не получилась.
Есть ещё один очень интересный эпизод истории математики, напрямую связанный с работами Лейбница по математической логике. В начале 20-го века опубликованные уже к тому времени работы Лейбница изучал молодой австрийский математик Курт Гёдель. Цели его были абсолютно противоположны целям Лейбница. Лейбниц мечтал построить универсальное исчисление, которое позволяло бы автоматически получать ответы на все проблемы жизни. Гёдель хотел доказать, что такое невозможно даже в математике. К тому времени математическая логика была достаточно развита. Были разработаны так называемые аксиомы и правила вывода, причём существовали достаточно веские аргументы в пользу того, что их нужно брать именно так, а не иначе. Та точка зрения, согласно которой в рамках математической теории все верные утверждения можно вывести по этим правилам формально, была достаточно распространённой. Среди её сторонников был, например, один из величайших математиков 20-го века Давид Гильберт. В результате исследований Гёделя родилась «теорема о неполноте», которая утверждает, что в рамках любой математической теории можно сформулировать с соблюдением всех правил утверждение, которые невозможно формально ни доказать, ни опровергнуть. Интересно, что при этом Гёдель использовал идею нумерации утверждений, восходившую к Лейбницу. Но нумеровал он не все понятия в мире, а только все утверждения некоторой математической теории. О философских аспектах теоремы Гёделя говорят очень много. Её рассматривают как приговор формальному схематическому мышлению, которое оказывается весьма ограниченным даже в рамках математики. Известный современный математик академик А.Н. Паршин говорит так «Некоторые математики считают, что жизнь была бы приятнее, если бы теоремы Гёделя не было. Я считаю, что если бы не было теоремы Гёделя, жизнь не была бы приятнее, жизни бы просто не было»
Чем Лейбниц принципиально отличался от Декарта и Паскаля, двух других величайших математиков и философов 17-го века? Я бы ответил на этот вопрос так. Декарт и Паскаль были абсолютно цельными людьми. Из потребности в ясности родилась и аналитическая геометрия, и сogito ergo sum. Из взрывчатости мышления Паскаля выросли и его математические достижения, и наиболее яркие страницы «Мыслей». Но в Лейбнице как будто жило два человека. Один - фантазёр с несомненной склонностью к художественному мышлению. Некоторые страницы «Монадологии» читаются как стихи, где автор даже не пытается дать своим мыслям логическую аргументацию. Другой - логик-схематик, мечтающий формализовать весь процесс человеческого познания. Общее у этих двух Лейбницев, пожалуй, только одно: способность полностью, безоглядно отдаваться полёту даже самой странной мысли, если она оказывается неожиданной и красивой.