Простые формы
Нашел красивенную штуку!
Возьмем одну точку. Добавим к ней еще одну - получится две точки. Супер? Конечно, супер! Две точки - это одна пара (одна двойка). Получили отрезок прямой.
Добавим еще точку. Сколько всего точек? Три. А сколько пар? Считаем. Одна пара уже была, и к ней добавляются еще две пары, по числу парных сочетаний новой точки с каждой из двух исходных точек. Всего имеем: 3 двойки (пары), 3 единицы (точки) и 1 тройка. Получили треугольник.
Добавим к трем точкам четвертую. Число пар считаем так же: в тройке уже было 3 двойки, и к ним добавляются парные сочетания каждой точки с новой точкой - получаем всего 6 двоек. Теперь тройки. Была 1 тройка, и добавляем еще 3 тройки, которые получаются добавлением третьей (новой точки) к каждой паре из предыдущей фигуры (треугольника). Всего имеем 4 тройки. Иначе говоря, тетраэдр. В нем 4 вершины (точки-единицы), 6 двоек (ребра), 4 тройки (грани) и 1 четверка (весь тетраэдр в целом).
Дальше можно добавить 5ю точку к тетраэдру и получить новую пространственную фигуру. Можно посчитать, сколько в ней ребер, граней и "объемов" (четверок). А вся фигура в целом - это 4-мерный выпуклый многогранник ("многообъемник").
На бумажке: верхний индекс рядом с числом - это не степень, а число выборки. Например, цифра 7 в верхнем индексе означает "семерки".
Получилось смешно. Дочь посмотрела и сказала, что это треугольник Паскаля.
Интересно вот что.
Казалось бы, ну что там такого, мы же всего-лишь добавляем одну единственную точку, единичку... Ан нет! Это точка не простая. Это точка какая надо точка. Не всякая на ее роль сгодится. Например, сколько ни добавляй 4ю точку из плоскости треугольника - все равно тетраэдр из "четверки" не получится.
Но самое интересное, что такая точка всегда есть у нас под рукой. Потому что любая фигура, в каком-угодно пространстве, которую мы себе представим и опишем в полном "объеме", будет рассматриваться нами из особой точки, как бы "со стороны". И можно следующим шагом включить и эту точку в рассмотрение, перейдя на следующий пространственный "уровень".
Возьмем одну точку. Добавим к ней еще одну - получится две точки. Супер? Конечно, супер! Две точки - это одна пара (одна двойка). Получили отрезок прямой.
Добавим еще точку. Сколько всего точек? Три. А сколько пар? Считаем. Одна пара уже была, и к ней добавляются еще две пары, по числу парных сочетаний новой точки с каждой из двух исходных точек. Всего имеем: 3 двойки (пары), 3 единицы (точки) и 1 тройка. Получили треугольник.
Добавим к трем точкам четвертую. Число пар считаем так же: в тройке уже было 3 двойки, и к ним добавляются парные сочетания каждой точки с новой точкой - получаем всего 6 двоек. Теперь тройки. Была 1 тройка, и добавляем еще 3 тройки, которые получаются добавлением третьей (новой точки) к каждой паре из предыдущей фигуры (треугольника). Всего имеем 4 тройки. Иначе говоря, тетраэдр. В нем 4 вершины (точки-единицы), 6 двоек (ребра), 4 тройки (грани) и 1 четверка (весь тетраэдр в целом).
Дальше можно добавить 5ю точку к тетраэдру и получить новую пространственную фигуру. Можно посчитать, сколько в ней ребер, граней и "объемов" (четверок). А вся фигура в целом - это 4-мерный выпуклый многогранник ("многообъемник").
На бумажке: верхний индекс рядом с числом - это не степень, а число выборки. Например, цифра 7 в верхнем индексе означает "семерки".
Получилось смешно. Дочь посмотрела и сказала, что это треугольник Паскаля.
Интересно вот что.
Казалось бы, ну что там такого, мы же всего-лишь добавляем одну единственную точку, единичку... Ан нет! Это точка не простая. Это точка какая надо точка. Не всякая на ее роль сгодится. Например, сколько ни добавляй 4ю точку из плоскости треугольника - все равно тетраэдр из "четверки" не получится.
Но самое интересное, что такая точка всегда есть у нас под рукой. Потому что любая фигура, в каком-угодно пространстве, которую мы себе представим и опишем в полном "объеме", будет рассматриваться нами из особой точки, как бы "со стороны". И можно следующим шагом включить и эту точку в рассмотрение, перейдя на следующий пространственный "уровень".