О некоторых кризисных явления в науке
...Третий кризис, о котором пойдет речь, также связан с излишней сложностью, но он в определенном смысле более серьезный. Поскольку ни о каком использовании компьютеров в данном случае речь не идет, здесь мы не можем отделаться заявлениями о недопустимости компьютерных доказательств в так называемой «чистой математике». Более того, пример, который я приведу, относится к одному из центральных разделов современной математики - к теории групп.
В 1970-е годы более сотни специалистов по теории групп образовали своеобразный консорциум, целью которого было представить полную классификацию простых конечных групп. Задача была поставлена крайне трудоемкая, и ее решение остается единственным примером использования «поточного метода» и «разделения труда» в чистой математике. Под общим руководством Даниэля Горенштейна проблема была разбита на «пакеты» задач, которые поручили различным группам математиков всего мира. Через десять лет интенсивной работы удалось составить полную классификацию всех простых конечных групп, состоящую из трех бесконечных счетных семейств и 26 так называемых спорадических групп с особыми свойствами. Существование спорадической группы с самым большим порядком, получившей прозвище «монстр», удалось доказать только при помощи компьютера. К счастью, кризис, разразившийся вокруг этой проблемы, можно обсуждать не вникая в детали классификации групп. Не обязательно даже вообще знать, что такое простая конечная группа.
В 1980-е годы случилось нечто не менее интересное, чем сама классификация групп. Сначала произошел внешне позитивный сдвиг: вроде бы удалось найти метод доказательства существования «монстра» без использования компьютера. Было решено объединить усилия различных групп математиков для проведения массированной проработки нащупанного доказательства, но вместо ожидаемого результата было выявлено множество пробелов в ранее принятых доказательствах. Большую часть дыр удалось залатать, но одна оказалась настолько серьезной, что заявления о том, что получена полная классификация простых конечных групп, были в 1990 году признаны преждевременными. Со временем этот пробел был заполнен доказательством Ашбахера и Смита, и опять тогда казалось, что доказательство вполне корректно. Интересно, что из двадцати томов этого окончательного доказательства до сих опубликованы лишь неполные пять, и это спустя четверть века после того, как теорема была «доказана». Михаэль Ашбахер, один из самых заинтересованных участников проекта, не исключает, что в один прекрасный день может быть открыта новая простая конечная группа. Если ее характеристики окажутся родственными характеристикам какой-либо из известных групп, это еще не страшно. Однако Ашбахер не исключает и возможности открытия принципиально новой простой конечной группы, и тогда всю работу по их классификации можно начинать заново. Отметим также, что и Жан-Пьер Серр весьма скептически относится к полноте и корректности имеющегося доказательства.
Что касается завершения проекта окончательной классификации конечных групп (в смысле публикации исчерпывающего итогового доклада), то оно находится под угрозой срыва в связи с выбыванием из строя ведущих участников в силу естественных возрастных причин. Еще лет десять, и большинство из них уйдет из жизни или из математики, и останется слишком мало ученых, достаточно глубоко понимающих проблему, чтобы завершить классификацию. Но даже если проект увенчается исчерпывающим итоговым докладом, в мире, наверное, не найдется и десяти математиков, которые будут вправе утверждать, что они понимают хотя бы основные линии многотомного доказательства.
Итак, мы пришли к следующей ситуации. Решение задачи, формулируемой в нескольких предложениях, занимает десятки тысяч страниц текста. Доказательство целиком и последовательно не записано, скорее всего записано никогда не будет и, наконец, не может быть полностью понято ни одним отдельно взятым индивидом. Полученные результаты, тем не менее, важны и широко используются при решении различных задач в рамках теории групп, при этом их корректность остается под большим вопросом.
* * * * *
Почти все доказательства теорем в математическом анализе опираются на внешние факты, которые обычно не объясняются, поскольку подразумеваются известными читателю. Статью можно начать заявлением, что она посвящена спектральному анализу лапласиана на ограниченной евклидовой области с граничными условиями Дирихле.
По одной этой теме, наверное, имеются сотни монографий и тысячи публикаций, и автор берет на себя смелость утверждать, что с большей их частью он знаком. При этом автор будет ссылаться лишь на новые и малоизвестные работы, о которых читатель может быть не в курсе, подразумевая, что с «классикой жанра» человек, взявшийся за чтение такой статьи, скорее всего, знаком в силу полученного им образования.
Куда движется математика?
Брайан Дэвис (Brian Davies),
профессор математики Лондонского Кингс Колледжа
Цитата из интересной статьи на эту тему Теория групп - наука о совершенстве:
Теория групп - это, конечно, далеко не вся современная математика, а лишь малая ее часть, но она находится на одном из самых высоких уровней абстракции, что делает ее неплохим примером раздела современной математики.
В 1970-е годы более сотни специалистов по теории групп образовали своеобразный консорциум, целью которого было представить полную классификацию простых конечных групп. Задача была поставлена крайне трудоемкая, и ее решение остается единственным примером использования «поточного метода» и «разделения труда» в чистой математике. Под общим руководством Даниэля Горенштейна проблема была разбита на «пакеты» задач, которые поручили различным группам математиков всего мира. Через десять лет интенсивной работы удалось составить полную классификацию всех простых конечных групп, состоящую из трех бесконечных счетных семейств и 26 так называемых спорадических групп с особыми свойствами. Существование спорадической группы с самым большим порядком, получившей прозвище «монстр», удалось доказать только при помощи компьютера. К счастью, кризис, разразившийся вокруг этой проблемы, можно обсуждать не вникая в детали классификации групп. Не обязательно даже вообще знать, что такое простая конечная группа.
В 1980-е годы случилось нечто не менее интересное, чем сама классификация групп. Сначала произошел внешне позитивный сдвиг: вроде бы удалось найти метод доказательства существования «монстра» без использования компьютера. Было решено объединить усилия различных групп математиков для проведения массированной проработки нащупанного доказательства, но вместо ожидаемого результата было выявлено множество пробелов в ранее принятых доказательствах. Большую часть дыр удалось залатать, но одна оказалась настолько серьезной, что заявления о том, что получена полная классификация простых конечных групп, были в 1990 году признаны преждевременными. Со временем этот пробел был заполнен доказательством Ашбахера и Смита, и опять тогда казалось, что доказательство вполне корректно. Интересно, что из двадцати томов этого окончательного доказательства до сих опубликованы лишь неполные пять, и это спустя четверть века после того, как теорема была «доказана». Михаэль Ашбахер, один из самых заинтересованных участников проекта, не исключает, что в один прекрасный день может быть открыта новая простая конечная группа. Если ее характеристики окажутся родственными характеристикам какой-либо из известных групп, это еще не страшно. Однако Ашбахер не исключает и возможности открытия принципиально новой простой конечной группы, и тогда всю работу по их классификации можно начинать заново. Отметим также, что и Жан-Пьер Серр весьма скептически относится к полноте и корректности имеющегося доказательства.
Что касается завершения проекта окончательной классификации конечных групп (в смысле публикации исчерпывающего итогового доклада), то оно находится под угрозой срыва в связи с выбыванием из строя ведущих участников в силу естественных возрастных причин. Еще лет десять, и большинство из них уйдет из жизни или из математики, и останется слишком мало ученых, достаточно глубоко понимающих проблему, чтобы завершить классификацию. Но даже если проект увенчается исчерпывающим итоговым докладом, в мире, наверное, не найдется и десяти математиков, которые будут вправе утверждать, что они понимают хотя бы основные линии многотомного доказательства.
Итак, мы пришли к следующей ситуации. Решение задачи, формулируемой в нескольких предложениях, занимает десятки тысяч страниц текста. Доказательство целиком и последовательно не записано, скорее всего записано никогда не будет и, наконец, не может быть полностью понято ни одним отдельно взятым индивидом. Полученные результаты, тем не менее, важны и широко используются при решении различных задач в рамках теории групп, при этом их корректность остается под большим вопросом.
* * * * *
Почти все доказательства теорем в математическом анализе опираются на внешние факты, которые обычно не объясняются, поскольку подразумеваются известными читателю. Статью можно начать заявлением, что она посвящена спектральному анализу лапласиана на ограниченной евклидовой области с граничными условиями Дирихле.
По одной этой теме, наверное, имеются сотни монографий и тысячи публикаций, и автор берет на себя смелость утверждать, что с большей их частью он знаком. При этом автор будет ссылаться лишь на новые и малоизвестные работы, о которых читатель может быть не в курсе, подразумевая, что с «классикой жанра» человек, взявшийся за чтение такой статьи, скорее всего, знаком в силу полученного им образования.
Куда движется математика?
Брайан Дэвис (Brian Davies),
профессор математики Лондонского Кингс Колледжа
Цитата из интересной статьи на эту тему Теория групп - наука о совершенстве:
Теория групп - это, конечно, далеко не вся современная математика, а лишь малая ее часть, но она находится на одном из самых высоких уровней абстракции, что делает ее неплохим примером раздела современной математики.