Физика, математика и космология

[don_beaver]

Размышляю о статьях Айзексона ( см в конце https://don-beaver.livejournal.com/310495.html) и о том, какие ограничения физическая модель накладывает на математику, которая используется в этой модели. Простейший пример - математика не знает принципа причинности, а в физике связь причины и

Comments

[p2004r]

Эхо "настоящей" ))) китайской комнаты )))

Физические модели действительно накладывают существенные ограничения на математические уравнения, используемые для описания природных явлений. Эти ограничения возникают из-за необходимости соответствия реальным физическим законам, принципам и условиям. Вот основные аспекты, которые определяют такие ограничения:

### 1. **Соответствие физическим законам и принципам**
- Уравнения должны отражать законы сохранения (энергии, импульса, заряда и т.д.). Например, в гидродинамике уравнение Навье-Стокса гарантирует сохранение массы и импульса.
- Принцип причинности запрещает решения, где следствие предшествует причине. Например, в волновых уравнениях отбрасываются решения, нарушающие временнýю последовательность.
- Второе начало термодинамики ограничивает направление процессов, что влияет на уравнения в термодинамических моделях.

### 2. **Требования к размерностям**
- Все члены уравнений должны быть **однородны по размерности**. Например, в уравнении движения \( F = ma \), сила (Ньютон), масса (кг) и ускорение (м/с²) согласованы размерностно.
- Нарушение размерностной однородности делает уравнение физически бессмысленным.

### 3. **Область применимости модели**
- Уравнения работают только в определённых условиях. Например:
- Механика Ньютона применима при \( v \ll c \), а для релятивистских скоростей используется СТО.
- Уравнения состояния идеального газа неприменимы при высоких давлениях или низких температурах.

### 4. **Граничные и начальные условия**
- Физические условия задачи (например, температура на границе или начальная скорость) сужают множество математических решений. Например, волновое уравнение имеет бесконечное число решений, но только те, которые удовлетворяют граничным условиям, имеют физический смысл.

### 5. **Вычислительные ограничения**
- Даже корректные уравнения могут требовать упрощений для численного решения. Например, в климатических моделях используются параметризации турбулентности из-за невозможности разрешить все масштабы.
- Устойчивость численных методов (например, шаг интегрирования в уравнениях движения) также накладывает ограничения.

### 6. **Принципы симметрии**
- Уравнения должны учитывать симметрии системы. Например, в квантовой механике гамильтониан симметричен относительно определённых преобразований, что приводит к сохранению соответствующих величин (заряда, спина).

### 7. **Физическая интерпретация решений**
- Не все математические решения допустимы физически. Например:
- В квантовой механике волновая функция должна быть нормируемой.
- Отрицательные значения плотности или температуры исключаются как нефизичные.

### Примеры ограничений
- **Квантовая механика**: Комплексные числа используются в уравнениях Шрёдингера, но физический смысл имеют только квадраты модулей волновых функций (вероятности).
- **Общая теория относительности**: Уравнения Эйнштейна нелинейны, что ограничивает аналитические решения, но они обязаны сохранять инвариантность относительно преобразований координат.

### Итог
Физические модели не позволяют использовать произвольные математические операции - уравнения должны быть согласованы с наблюдаемой реальностью, экспериментальными данными и фундаментальными принципами. Математика здесь служит инструментом, подчиненным физическим требованиям, а не наоборот.

[don_beaver]

"- Принцип причинности запрещает решения, где следствие предшествует причине. Например, в волновых уравнениях отбрасываются решения, нарушающие временнýю последовательность."

Класс! Это какая комната вам рассказала?

[p2004r]

Так самая что ни наесть "китайская" ))), дипсик в3 .

[don_beaver]

Большое спасибо! То, что ИИ китайского происхождения знает о "беспричинности" математики, вдохновило меня на утверждение, что работы Айзексона, основанные на математических трюках, противоречат принципу причинности. И я это сейчас упомяну в английском издании, над корректурой которого сейчас тружусь. Так что - вы внесли свой вклад в книжку!