Новая книга
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Суперфункции
Суперфункции - русскоязычная книга, изданная в 2014 году. Только что.
Обложка русского издания показана на рисунке.
Купил на сайте https://www.morebooks.de/store/ru/book/Суперфункции/isbn/978-3-659-56202-0
PDF можно скачать на
http://mizugadro.mydns.jp/BOOK/201.pdf или на
http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/BOOK/201.pdf
Книга об итерациях функций и решениях F уравнения F(z+1)=T(F(z)) для различных функций T.
Аннотация
Собраны результаты по вычислению суперфункций, абельфункций и нецелых итераций. Для заданной голоморфной передаточной функции T, речь идет о решениях F передаточного уравнения F(z+1)=T(F(z)) . В частности, расмотрены суперфункции от факториала, экспоненты, синуса; предложены голоморфные обобщения логистической последовательности и функций Аскерманна. Из аскерманнов представены тетрация (в основном, по вещественному основанию, большему единицы) и пентация (по основанию e). Предложены эффективные алгоритмы вычисления суперфункций и абельфункций. Построены графики и комплексные карты. Обсуждаются приложения. Суперфункции, абельфункции и нецелые итерации существенно расширяют класс функций, которые можно использовать в научных исследованиях и техническом дезайне. Генераторы рисунков на C++ загружены на сайт TORI, то есть http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:Book и доступны для скачивания. С этими генераторами читатели могут воспроизводить (и модифицировать) рисунки из Книги. Книга задумана как прикладная и популярная. Я стараюсь избегать сложных формул, но знание комплексной арифметики, интеграла Коши и принципов асимптотического анализа желательно.
Информация об авторе
Дмитрий Кузнецов: Окончил Физфак МГУ (1980). Работа: СССР, Мексика, США, Япония. В 20 веке доказал квантовую стабильность оптического солитона, предложил нижнюю границу квантового шума нелинейного усилителя и указал предел одномодового приближения в Квантовой Оптике. В 21 веке построил теорию ребристых атомных зеркал, формализм суперфункций и аксиомы ТОРИ.
По существу
Допустим, есть какая-то функция T, и эта функция итерируется.
T(z), T(T(z)), T(T(T(z))) и так далее; записаны, первая, вторая и третья итерации функции.
Минус первая итерация от функции есть обратная функция T-1,
то есть такая, что T(T-1(z))=z
Нулевая итерация функции T, то есть T0, есть тождественная функция,
её значение равно её раргументу: T0(z)=z
Если T(z)=b+z , где b есть константа, то nная итерация может быть записана в виде
Tn(z) = b n + z
Если T(z)=bz , где b есть константа, то nная итерация может быть записана в виде
Tn(z) = bn z
В этих формулах понятно, что число n итераций не имеет надобности быть целым.
Например, положение гири в часах можно описать как линейную функцию времени.
Если гиря в часах за день спускается на один метр, то нетрудно оценить,
насколько она спустится за полдня, за час, и т.д.
Если количество бактерий в бульоне за час увеличивается вдвое,
то нетрудно понять, на сколько оно увеличится за полчаса, и т.п.;
всякий, кто знаком с экспонентой, легко проделает такие вычисления.
А для каких ещё функций можно вычислять нецелые итерации?
Если T(z)=bz , где b есть константа, то как записать nную итерацию такой функции?
И как её вычислять? Как построить её график?
Книга отвечает на такие вопросы. Любую сколько-нибудь разумную функцию можно итерировать нецелое количество разов. Для этого предлагается специальный формализм суперфункций. Этому формализму посвящена Книга.
Нецелые итерации существенно расширяют инструментарий функций, доступных для аппроксимации наблюдаемых зависимостей. Ожидается приложение суперфункций в разных областях физики и технологии.