Об обратной связи
Под тэгом " мозг фирмы" буду публиковать важные и интерсные моменты из одноимённой книги Стаффорда Бира. Для формата ЖЖ немного непривычно, конечно: ни тебе демотиваторов, ни национальных конфликтов, коррупционеров из ЕдРа и геев(что почти одно и то же, если задуматься), ни даже няшных котиков. Кондовые формулы и рассуждения о теории систем и системном анализе. Что ж, "не всё коту масленица".
Обратимся к схеме простого сервомеханизма - нам предстоит исследовать характеристики обратной связи на основе их математического описания. Это не означает, что мы будем изучать конкретные дифференциальные уравнения - вся дискуссия ограничится элементарными алгебраическими уравнениями, но это надо преодолеть. На вход системы обратной связи подается выходная величина основной системы - о. Выходная величина системы обратной связи есть результат воздействия на величину о функции преобразования системы обратной связи, т.е. oF ( p ). На входе предыдущей системы в результате воздействия обратной связи вместо величины i будет величина е = i+ oF ( p ).
Если это так, то форма функции преобразования первичной системы изменится. Первоначально мы ее записали как f ( p ) = o / i , но теперь это неверно. На входе основной системы (прямоугольник f ( p )) теперь уже величина не i, а е, представляющая суммарный эффект входной величины i и величины, обусловленной действием обратной связи, oF ( p ).
Поскольку на входе блока f ( p ) величина е, а на выходе о, то f ( p ) = о/е. Чтобы получить функцию преобразования всей системы, мы должны вернуться к основному определению, в котором выходная величина сравнивалась с входной, и записать новую функцию я(р), которая устанавливает правильное соотношение между функциями f ( p ) и F ( p ). Конечно, просто записать 0 (р) =o/i. Но чтобы сделать то, что нам нужно, перепишем уравнение для первой системы f ( p ) и уравнение для е.
f ( p )= o / e , (1)
e=i+ oF (p). (2)
Из (1) следует, что
о= ef ( p ). (3)
Подстановка в (2) дает
i = e - oF ( p ). (4)
Используя результат (3) и (4), получаем общую функцию преобразования
ø( р ) = o/i = е f (p) /(e-oF (p)). (5)
Подставляя значение о согласно (3) в знаменатель (5), получаем
ø( р ) =o/i=ef(p)/(e-ef(p)F(p)). (6)
Сократив е в числителе и знаменателе (6), имеем
ø( р ) =o/i = f(p)/(l-f (p)F(p)).
Из данного уравнения следует несколько выводов. Во-первых, видно, что обратная связь может стать либо положительной, либо отрицательной.
Рассмотрим произведение функций обратной связи первичной цепи и цепи обратной связи, а именно f ( p ) F ( p ). Предположим, что система не требует коррекции, т.е. функция обратной связи не оказывает никакого влияния. Тогда перемножение функций даст нуль и общая функция преобразования ø( p ) будет правильно работать как f ( p ) сама по себе. Если произведение функций будет больше нуля, то знаменатель станет меньше единицы, а общее значение функции больше значения функции преобразования первичной цепи - в итоге получится положительная обратная связь. Если произведение функций станет меньше нуля, то знаменатель станет больше единицы и значение результирующей функции станет меньше значения функции преобразования первичной цепи - получим отрицательную обратную связь. Очевидно, что в одной и той же системе может быть как положительная обратная связь, так и отрицательная, в зависимости от формы переменной, действующей на входе, и сдвига по фазе во взаимодействии этих двух цепей.
Во-вторых, весьма интересен результат действия отрицательной обратной связи. Корректирующая обратная связь по необходимости должна быть отрицательной, если любое отклонение от заданной нормы считается по его абсолютному значению положительным. Тогда уравнение для е должно быть переписано как e = i - oF ( p ), поскольку нам известно, что абсолютное значение функции преобразования погрешности должно вычитаться из первичного значения входной величины. Тогда уравнение для общей функции преобразования следует переписать в виде
ø( р ) = f (p)/[1+ f (p)F (p)].
Анализируя это уравнение, можно определить, что происходит, если значение функции преобразования первичной цепи становится очень большой величиной. При значении f ( p ), существенно превышающем единицу, единицей в знаменателе можно пренебречь и сократить числитель и знаменатель на f ( p ). В таком случае в схеме с обратной связью определяющей станет функция преобразования цепи обратной связи. Формально это можно записать так:
если | f ( p ) |>> l , то ø ( p ) ~= l / F ( p ).
Результат поразителен. У нас может быть очень слабый сигнал на входе, как это часто случается в биологических и управляющих ситуациях. Мы можем сильно усиливать этот сигнал в первичной цепи, и это часто случается. Тогда можно предположить, что любой "шум" на входе, т.е. по смыслу любая неверная информация на входе, станет также сильно усиливаться. Но поскольку в системе в целом преобладает влияние не первичной цепи, не первичной системы, а системы обратной связи, то именно она обеспечит на выходе сигнал, значительно "чище", чем можно было ожидать.
Таким образом, мы оказываемся на пути к достижению желаемого качества системы - ее сверхустойчивости. Отрицательная обратная связь во всех случаях корректирует величину на выходе в соответствии с флуктуациями на входе. Неважно, какого сорта шум действует на систему, как он велик по сравнению с входным сигналом, насколько он хаотичен и почему возник. Система стремится подавить его влияние.
Обратимся к схеме простого сервомеханизма - нам предстоит исследовать характеристики обратной связи на основе их математического описания. Это не означает, что мы будем изучать конкретные дифференциальные уравнения - вся дискуссия ограничится элементарными алгебраическими уравнениями, но это надо преодолеть. На вход системы обратной связи подается выходная величина основной системы - о. Выходная величина системы обратной связи есть результат воздействия на величину о функции преобразования системы обратной связи, т.е. oF ( p ). На входе предыдущей системы в результате воздействия обратной связи вместо величины i будет величина е = i+ oF ( p ).
Если это так, то форма функции преобразования первичной системы изменится. Первоначально мы ее записали как f ( p ) = o / i , но теперь это неверно. На входе основной системы (прямоугольник f ( p )) теперь уже величина не i, а е, представляющая суммарный эффект входной величины i и величины, обусловленной действием обратной связи, oF ( p ).
Поскольку на входе блока f ( p ) величина е, а на выходе о, то f ( p ) = о/е. Чтобы получить функцию преобразования всей системы, мы должны вернуться к основному определению, в котором выходная величина сравнивалась с входной, и записать новую функцию я(р), которая устанавливает правильное соотношение между функциями f ( p ) и F ( p ). Конечно, просто записать 0 (р) =o/i. Но чтобы сделать то, что нам нужно, перепишем уравнение для первой системы f ( p ) и уравнение для е.
f ( p )= o / e , (1)
e=i+ oF (p). (2)
Из (1) следует, что
о= ef ( p ). (3)
Подстановка в (2) дает
i = e - oF ( p ). (4)
Используя результат (3) и (4), получаем общую функцию преобразования
ø( р ) = o/i = е f (p) /(e-oF (p)). (5)
Подставляя значение о согласно (3) в знаменатель (5), получаем
ø( р ) =o/i=ef(p)/(e-ef(p)F(p)). (6)
Сократив е в числителе и знаменателе (6), имеем
ø( р ) =o/i = f(p)/(l-f (p)F(p)).
Из данного уравнения следует несколько выводов. Во-первых, видно, что обратная связь может стать либо положительной, либо отрицательной.
Рассмотрим произведение функций обратной связи первичной цепи и цепи обратной связи, а именно f ( p ) F ( p ). Предположим, что система не требует коррекции, т.е. функция обратной связи не оказывает никакого влияния. Тогда перемножение функций даст нуль и общая функция преобразования ø( p ) будет правильно работать как f ( p ) сама по себе. Если произведение функций будет больше нуля, то знаменатель станет меньше единицы, а общее значение функции больше значения функции преобразования первичной цепи - в итоге получится положительная обратная связь. Если произведение функций станет меньше нуля, то знаменатель станет больше единицы и значение результирующей функции станет меньше значения функции преобразования первичной цепи - получим отрицательную обратную связь. Очевидно, что в одной и той же системе может быть как положительная обратная связь, так и отрицательная, в зависимости от формы переменной, действующей на входе, и сдвига по фазе во взаимодействии этих двух цепей.
Во-вторых, весьма интересен результат действия отрицательной обратной связи. Корректирующая обратная связь по необходимости должна быть отрицательной, если любое отклонение от заданной нормы считается по его абсолютному значению положительным. Тогда уравнение для е должно быть переписано как e = i - oF ( p ), поскольку нам известно, что абсолютное значение функции преобразования погрешности должно вычитаться из первичного значения входной величины. Тогда уравнение для общей функции преобразования следует переписать в виде
ø( р ) = f (p)/[1+ f (p)F (p)].
Анализируя это уравнение, можно определить, что происходит, если значение функции преобразования первичной цепи становится очень большой величиной. При значении f ( p ), существенно превышающем единицу, единицей в знаменателе можно пренебречь и сократить числитель и знаменатель на f ( p ). В таком случае в схеме с обратной связью определяющей станет функция преобразования цепи обратной связи. Формально это можно записать так:
если | f ( p ) |>> l , то ø ( p ) ~= l / F ( p ).
Результат поразителен. У нас может быть очень слабый сигнал на входе, как это часто случается в биологических и управляющих ситуациях. Мы можем сильно усиливать этот сигнал в первичной цепи, и это часто случается. Тогда можно предположить, что любой "шум" на входе, т.е. по смыслу любая неверная информация на входе, станет также сильно усиливаться. Но поскольку в системе в целом преобладает влияние не первичной цепи, не первичной системы, а системы обратной связи, то именно она обеспечит на выходе сигнал, значительно "чище", чем можно было ожидать.
Таким образом, мы оказываемся на пути к достижению желаемого качества системы - ее сверхустойчивости. Отрицательная обратная связь во всех случаях корректирует величину на выходе в соответствии с флуктуациями на входе. Неважно, какого сорта шум действует на систему, как он велик по сравнению с входным сигналом, насколько он хаотичен и почему возник. Система стремится подавить его влияние.