Памяти Арнольда
Накануне умер выдающийся советский математик Владимир Игоревич Арнольд. Автор работ в области топологии, теории дифференциальных уравнений, теории особенностей гладких отображений и теоретической механики. Ученик великого Колмогорова.
Считаю своим долгом напомнить об этом замечательном человеке. Ибо некоторые знакомые на мою реплику "- Слышали, Арнольд скончался?", отвечают: "Шварценеггер, что ли?".
Он многое знал, многое понимал, и не только в математике. Он понимал, к чему приведёт клерикализация общества. Жаль, что таких людей становится всё меньше.
Вот некоторые интересные выдержки(поскольку там немало математики) из его статьи Новый обскурантизм и Российское просвещение.
Об образовании:
Не тронь мои круги» - сказал Архимед убивавшему его римскому солдату. Эта пророческая фраза вспомнилась мне в Государственной Думе, когда председательствовавший на заседании Комитета по образованию (22 октября 2002 года) прервал меня словами: «У нас не Академия наук, где можно отстаивать истины, а Государственная Дума, где всё основано на том, что у разных людей по разным вопросам разные мнения».
Мнение, которое я отстаивал, состояло в том, что трижды семь - двадцать один, и что обучение наших детей как таблице умножения, так и сложению однозначных чисел и даже дробей - государственная необходимость. Я упомянул о недавнем введении в штате Калифорния (по инициативе нобелевского лауреата, специалиста по трансурановой физике Глена Сиборга) нового требования к поступающим в университеты школьникам: нужно уметь самостоятельно делить число 111 на 3 (без компьютера).
Слушатели в Думе, видимо, разделить не смогли, а потому не поняли ни меня, ни Сиборга: в «Известиях» при доброжелательном изложении моей фразы число «сто одиннадцать» заменили на «одиннадцать» (от чего вопрос становится гораздо более трудным, так как одиннадцать на три не делится).
Американские коллеги объяснили мне, что низкий уровень общей культуры и школьного образования в их стране - сознательное достижение ради экономических целей. Дело в том, что, начитавшись книг, образованный человек становится худшим покупателем: он меньше покупает и стиральных машин, и автомобилей, начинает предпочитать им Моцарта или Ван Гога, Шекспира или теоремы. От этого страдает экономика общества потребления и, прежде всего, доходы хозяев жизни - вот они и стремятся не допустить культурности и образованности (которые, вдобавок, мешают им манипулировать населением, как лишённым интеллекта стадом).
Более высокий по сравнению с заграничным уровень нашего традиционного математического образования стал для меня очевиден только после того, как я смог сравнить этот уровень с зарубежным, проработав немало семестров в университетах и колледжах Парижа и Нью-Йорка, Оксфорда и Кембриджа, Пизы и Болоньи, Бонна и Беркли, Стэнфорда и Бостона, Гонконга и Киото, Мадрида и Торонто, Марселя и Страсбурга, Утрехта и Рио-де-Жанейро, Конакри и Стокгольма.
«Мы никак не можем следовать твоему принципу - выбирать кандидатов по их научным достижениям», - сказали мне коллеги в комиссии по приглашению новых профессоров в один из лучших университетов Парижа. - «Ведь в этом случае нам пришлось бы выбирать одних только русских - настолько их научное превосходство нам всем ясно!» (я же говорил при этом об отборе среди французов).
О Колмогорове:
Выросший в деревне у деда под Ярославлем, Андрей Николаевич с гордостью относил к себе слова Гоголя «расторопный рославский мужик».
Стать математиком он вовсе не собирался, даже уже поступив в Московский Университет, где он сразу же стал заниматься историей (в семинаре профессора Бахрушина) и, не достигнув и двадцати лет, написал свою первую научную работу.
Эта работа была посвящена исследованию земельных экономических отношений в средневековом Новгороде. Здесь сохранились налоговые документы, и анализ огромного количества этих документов статистическими методами привёл молодого историка к неожиданным заключениям, о которых он и рассказал на заседании Бахрушина.
Доклад был очень удачным, и докладчика много хвалили. Но он настаивал на другом одобрении: ему хотелось, чтобы его выводы были признаны правильными.
В конце концов Бахрушин сказал ему: «Этот доклад обязательно нужно опубликовать; он очень интересен. Но что касается выводов, то у нас, историков, для признания какого-либо вывода всегда нужно не одно доказательство, а по меньшей мере пять!»
На следующий день Колмогоров сменил историю на математику, где одного доказательства хватает.
Теперь этот доклад Колмогорова опубликован, и рассматривается сообществом историков как выдающийся вклад в их науку.
Меня всегда поражало в Андрее Николаевиче благородное его желание видеть в каждом собеседнике по меньшей мере равный себе интеллект (из-за чего его и было так трудно понимать). При этом он прекрасно знал, что в действительности уровень большинства собеседников совсем другой. Андрей Николаевич назвал мне как-то только двух математиков, при разговоре с которыми он «ощущал присутствие высшего разума» (одним из них он назвал своего ученика И. М. Гельфанда).
О правиле Арнольда:
Пуанкаре, впервые открывший это явление, назвал такие замкнутые кривые-аттракторы «устойчивыми предельными циклами». С физической точки зрения их можно назвать периодическими установившимися режимами течения: возмущение постепенно затухает при переходном процессе, вызванном возмущением начального условия, и через некоторое время отличие движения от невозмущённого периодического становится малозаметным.
После Пуанкаре подобные предельные циклы много исследовал А.А. Андронов, основавший на этой математической модели исследование и расчёт генераторов радиоволн, то есть радиопередатчиков.
Поучительно, что открытая Пуанкаре и разработанная Андроновым теория рождения предельных циклов из теряющих устойчивость положений равновесия называется сегодня обычно (даже в России) бифуркацией Хопфа. Э.Хопф опубликовал часть этой теории через пару десятков лет после публикации Андронова и более, чем через полвека после Пуанкаре, но он в отличие от них жил в Америке, так что сработал известный эпонимический принцип: если какой-либо объект носит чьё-либо имя, то это не имя первооткрывателя (например, Америка носит имя не Колумба).
Английский физик М. Берри назвал этот эпонимический принцип «принципом Арнольда», дополнив его ещё вторым. Принцип Берри: Принцип Арнольда применим к самому себе (то есть был известен и раньше).
В этом я с Берри совершенно согласен. Сообщил же я ему эпонимический принцип в ответ на препринт о «фазе Берри», примеры которой, ничуть не уступающие общей теории, за десятки лет до Берри были опубликованы С.М. Рытовым (под названием «инерции направления поляризации») и А.Ю. Ишлинским (под названием «ухода гироскопа подводной лодки вследствие несовпадения пути возвращения на базу с путём ухода от неё»),
О доказательстве более общего утверждения:
Ко всем этим выводам Сильвестр пришёл, продумывая, по его словам, «странный интеллектуальный феномен, заключающийся в том, что доказательство более общего утверждения часто оказывается более простым, чем доказательства содержащихся в нем частных случаев». В качестве примера он сравнивал геометрию векторного пространства с (ещё не сложившимся тогда) функциональным анализом.
Эта идея Сильвестра в дальнейшем много использовалась. Например, именно ею объясняется стремление Бурбаки делать все понятия возможно более общими. Они даже употребляют во Франции слово «больше» в смысле, который в других странах (презрительно именуемыми ими «англосаксонскими») выражают словами «больше или равно», так как во Франции сочли более общее понятие «>=» первичным, а более частное «>» - «маловажным» примером. Из-за этого они учат студентов, будто нуль - число положительное (а также отрицательное, неположительное, неотрицательное и натуральное), что в других местах не признаётся.
Об идеях Абеля, Римана, Пуанкаре:
Уже в XX веке знаменитый английский чудак Харди писал, будто «Абель, Риман и Пуанкаре прожили свои жизни зря, ничего не принеся человечеству».
Большая часть современной математики (да и большая часть всей применяемой физиками математики) - перепевы или развитие замечательных геометрических идей Абеля, Римана, Пуанкаре, пронизывающих всю современную математику, как единое целое, где, по словам Якоби, «одна и та же функция решает и вопрос о представлении чисел суммой квадратов, и вопрос о законе больших колебаний маятника», решая также и вопрос о длине эллипса, каковой эллипс описывает и движение планет, и кувыркание спутников, и конические сечения. А римановы, поверхности, абелевы интегралы, и дифференциальные уравнения Пуанкаре - это главные ключи к поразительному миру математики.
О Сахарове и рубке капусты:
Задача о рубке капусты возникла у Андрея Дмитриевича вследствие просьбы жены нашинковать её, что начинается с разделения кочана ножом на круговые слои. Каждый слой делится затем случайными ударами ножа на много выпуклых «многоугольников».
Занимаясь этим трудом, Сахаров поставил себе вопрос: а сколько сторон у таких многоугольников? Некоторые из них треугольники, некоторые имеют много сторон. Вопрос был поэтому поставлен математически так: а каково среднее число сторон кусочка?
Сахаров пришёл каким-то (возможно, экспериментальным?) путём к (правильному) ответу: четыре.
При комментировании его рукописи для её издания моя итальянская ученица Ф. Аикарди пришла к такому обобщению этого утверждения Сахарова: при разрезании n-мерного тела большим числом случайных гиперплоскостей (плоскостей размерности n - 1) на выпуклые n-мерные многогранники, у получающихся кусочков среднее число граней любой размерности будет таким же, как у n-мерного куба. Например, в нашем обычном трёхмерном пространстве среднее число вершин кусочка равно 8, среднее число рёбер равно 12, а среднее число граней кусочка равно 6.
О Вейерштрассе и Ковалевской:
Андрей Николаевич Колмогоров смолоду тоже был школьным учителем (в школе на Потылихе), и столь успешным, что надеялся, что школьники изберут его (тогда избирать - это было обычным) своим классным руководителем. Но на выборах победил учитель физкультуры - это школьникам ближе.
Интересно, что в качестве учителя физкультуры в школе начинал свою деятельность другой великий математик, К. Вейерштрасс. Он, по словам Пуанкаре, особенно успешно обучал своих гимназистов работе на параллельных брусьях. Но прусские правила требовали от гимназического учителя представлять в конце года письменный труд, доказывающий его профессиональную пригодность. И Вейерштрасс представил сочинение об эллиптических функциях и интегралах.
Это сочинение в гимназии никто не смог понять, так что его отправили для оценки в университет. И очень скоро автора перевели туда, где он быстро стал одним их самых выдающихся и знаменитых математиков столетия, как в Германии, так и в мире. Из российских математиков его прямой ученицей была Софья Ковалевская, главное достижение которой, впрочем, было не подтверждением, а опровержением точки зрения учителя (который предлагал ей доказать отсутствие новых первых интегралов в задаче о вращении твёрдого тела вокруг неподвижной точки, а она эти интегралы нашла, анализируя причины неудачи своих попыток доказать предположение любимого учителя).
Считаю своим долгом напомнить об этом замечательном человеке. Ибо некоторые знакомые на мою реплику "- Слышали, Арнольд скончался?", отвечают: "Шварценеггер, что ли?".
Он многое знал, многое понимал, и не только в математике. Он понимал, к чему приведёт клерикализация общества. Жаль, что таких людей становится всё меньше.
Вот некоторые интересные выдержки(поскольку там немало математики) из его статьи Новый обскурантизм и Российское просвещение.
Об образовании:
Не тронь мои круги» - сказал Архимед убивавшему его римскому солдату. Эта пророческая фраза вспомнилась мне в Государственной Думе, когда председательствовавший на заседании Комитета по образованию (22 октября 2002 года) прервал меня словами: «У нас не Академия наук, где можно отстаивать истины, а Государственная Дума, где всё основано на том, что у разных людей по разным вопросам разные мнения».
Мнение, которое я отстаивал, состояло в том, что трижды семь - двадцать один, и что обучение наших детей как таблице умножения, так и сложению однозначных чисел и даже дробей - государственная необходимость. Я упомянул о недавнем введении в штате Калифорния (по инициативе нобелевского лауреата, специалиста по трансурановой физике Глена Сиборга) нового требования к поступающим в университеты школьникам: нужно уметь самостоятельно делить число 111 на 3 (без компьютера).
Слушатели в Думе, видимо, разделить не смогли, а потому не поняли ни меня, ни Сиборга: в «Известиях» при доброжелательном изложении моей фразы число «сто одиннадцать» заменили на «одиннадцать» (от чего вопрос становится гораздо более трудным, так как одиннадцать на три не делится).
Американские коллеги объяснили мне, что низкий уровень общей культуры и школьного образования в их стране - сознательное достижение ради экономических целей. Дело в том, что, начитавшись книг, образованный человек становится худшим покупателем: он меньше покупает и стиральных машин, и автомобилей, начинает предпочитать им Моцарта или Ван Гога, Шекспира или теоремы. От этого страдает экономика общества потребления и, прежде всего, доходы хозяев жизни - вот они и стремятся не допустить культурности и образованности (которые, вдобавок, мешают им манипулировать населением, как лишённым интеллекта стадом).
Более высокий по сравнению с заграничным уровень нашего традиционного математического образования стал для меня очевиден только после того, как я смог сравнить этот уровень с зарубежным, проработав немало семестров в университетах и колледжах Парижа и Нью-Йорка, Оксфорда и Кембриджа, Пизы и Болоньи, Бонна и Беркли, Стэнфорда и Бостона, Гонконга и Киото, Мадрида и Торонто, Марселя и Страсбурга, Утрехта и Рио-де-Жанейро, Конакри и Стокгольма.
«Мы никак не можем следовать твоему принципу - выбирать кандидатов по их научным достижениям», - сказали мне коллеги в комиссии по приглашению новых профессоров в один из лучших университетов Парижа. - «Ведь в этом случае нам пришлось бы выбирать одних только русских - настолько их научное превосходство нам всем ясно!» (я же говорил при этом об отборе среди французов).
О Колмогорове:
Выросший в деревне у деда под Ярославлем, Андрей Николаевич с гордостью относил к себе слова Гоголя «расторопный рославский мужик».
Стать математиком он вовсе не собирался, даже уже поступив в Московский Университет, где он сразу же стал заниматься историей (в семинаре профессора Бахрушина) и, не достигнув и двадцати лет, написал свою первую научную работу.
Эта работа была посвящена исследованию земельных экономических отношений в средневековом Новгороде. Здесь сохранились налоговые документы, и анализ огромного количества этих документов статистическими методами привёл молодого историка к неожиданным заключениям, о которых он и рассказал на заседании Бахрушина.
Доклад был очень удачным, и докладчика много хвалили. Но он настаивал на другом одобрении: ему хотелось, чтобы его выводы были признаны правильными.
В конце концов Бахрушин сказал ему: «Этот доклад обязательно нужно опубликовать; он очень интересен. Но что касается выводов, то у нас, историков, для признания какого-либо вывода всегда нужно не одно доказательство, а по меньшей мере пять!»
На следующий день Колмогоров сменил историю на математику, где одного доказательства хватает.
Теперь этот доклад Колмогорова опубликован, и рассматривается сообществом историков как выдающийся вклад в их науку.
Меня всегда поражало в Андрее Николаевиче благородное его желание видеть в каждом собеседнике по меньшей мере равный себе интеллект (из-за чего его и было так трудно понимать). При этом он прекрасно знал, что в действительности уровень большинства собеседников совсем другой. Андрей Николаевич назвал мне как-то только двух математиков, при разговоре с которыми он «ощущал присутствие высшего разума» (одним из них он назвал своего ученика И. М. Гельфанда).
О правиле Арнольда:
Пуанкаре, впервые открывший это явление, назвал такие замкнутые кривые-аттракторы «устойчивыми предельными циклами». С физической точки зрения их можно назвать периодическими установившимися режимами течения: возмущение постепенно затухает при переходном процессе, вызванном возмущением начального условия, и через некоторое время отличие движения от невозмущённого периодического становится малозаметным.
После Пуанкаре подобные предельные циклы много исследовал А.А. Андронов, основавший на этой математической модели исследование и расчёт генераторов радиоволн, то есть радиопередатчиков.
Поучительно, что открытая Пуанкаре и разработанная Андроновым теория рождения предельных циклов из теряющих устойчивость положений равновесия называется сегодня обычно (даже в России) бифуркацией Хопфа. Э.Хопф опубликовал часть этой теории через пару десятков лет после публикации Андронова и более, чем через полвека после Пуанкаре, но он в отличие от них жил в Америке, так что сработал известный эпонимический принцип: если какой-либо объект носит чьё-либо имя, то это не имя первооткрывателя (например, Америка носит имя не Колумба).
Английский физик М. Берри назвал этот эпонимический принцип «принципом Арнольда», дополнив его ещё вторым. Принцип Берри: Принцип Арнольда применим к самому себе (то есть был известен и раньше).
В этом я с Берри совершенно согласен. Сообщил же я ему эпонимический принцип в ответ на препринт о «фазе Берри», примеры которой, ничуть не уступающие общей теории, за десятки лет до Берри были опубликованы С.М. Рытовым (под названием «инерции направления поляризации») и А.Ю. Ишлинским (под названием «ухода гироскопа подводной лодки вследствие несовпадения пути возвращения на базу с путём ухода от неё»),
О доказательстве более общего утверждения:
Ко всем этим выводам Сильвестр пришёл, продумывая, по его словам, «странный интеллектуальный феномен, заключающийся в том, что доказательство более общего утверждения часто оказывается более простым, чем доказательства содержащихся в нем частных случаев». В качестве примера он сравнивал геометрию векторного пространства с (ещё не сложившимся тогда) функциональным анализом.
Эта идея Сильвестра в дальнейшем много использовалась. Например, именно ею объясняется стремление Бурбаки делать все понятия возможно более общими. Они даже употребляют во Франции слово «больше» в смысле, который в других странах (презрительно именуемыми ими «англосаксонскими») выражают словами «больше или равно», так как во Франции сочли более общее понятие «>=» первичным, а более частное «>» - «маловажным» примером. Из-за этого они учат студентов, будто нуль - число положительное (а также отрицательное, неположительное, неотрицательное и натуральное), что в других местах не признаётся.
Об идеях Абеля, Римана, Пуанкаре:
Уже в XX веке знаменитый английский чудак Харди писал, будто «Абель, Риман и Пуанкаре прожили свои жизни зря, ничего не принеся человечеству».
Большая часть современной математики (да и большая часть всей применяемой физиками математики) - перепевы или развитие замечательных геометрических идей Абеля, Римана, Пуанкаре, пронизывающих всю современную математику, как единое целое, где, по словам Якоби, «одна и та же функция решает и вопрос о представлении чисел суммой квадратов, и вопрос о законе больших колебаний маятника», решая также и вопрос о длине эллипса, каковой эллипс описывает и движение планет, и кувыркание спутников, и конические сечения. А римановы, поверхности, абелевы интегралы, и дифференциальные уравнения Пуанкаре - это главные ключи к поразительному миру математики.
О Сахарове и рубке капусты:
Задача о рубке капусты возникла у Андрея Дмитриевича вследствие просьбы жены нашинковать её, что начинается с разделения кочана ножом на круговые слои. Каждый слой делится затем случайными ударами ножа на много выпуклых «многоугольников».
Занимаясь этим трудом, Сахаров поставил себе вопрос: а сколько сторон у таких многоугольников? Некоторые из них треугольники, некоторые имеют много сторон. Вопрос был поэтому поставлен математически так: а каково среднее число сторон кусочка?
Сахаров пришёл каким-то (возможно, экспериментальным?) путём к (правильному) ответу: четыре.
При комментировании его рукописи для её издания моя итальянская ученица Ф. Аикарди пришла к такому обобщению этого утверждения Сахарова: при разрезании n-мерного тела большим числом случайных гиперплоскостей (плоскостей размерности n - 1) на выпуклые n-мерные многогранники, у получающихся кусочков среднее число граней любой размерности будет таким же, как у n-мерного куба. Например, в нашем обычном трёхмерном пространстве среднее число вершин кусочка равно 8, среднее число рёбер равно 12, а среднее число граней кусочка равно 6.
О Вейерштрассе и Ковалевской:
Андрей Николаевич Колмогоров смолоду тоже был школьным учителем (в школе на Потылихе), и столь успешным, что надеялся, что школьники изберут его (тогда избирать - это было обычным) своим классным руководителем. Но на выборах победил учитель физкультуры - это школьникам ближе.
Интересно, что в качестве учителя физкультуры в школе начинал свою деятельность другой великий математик, К. Вейерштрасс. Он, по словам Пуанкаре, особенно успешно обучал своих гимназистов работе на параллельных брусьях. Но прусские правила требовали от гимназического учителя представлять в конце года письменный труд, доказывающий его профессиональную пригодность. И Вейерштрасс представил сочинение об эллиптических функциях и интегралах.
Это сочинение в гимназии никто не смог понять, так что его отправили для оценки в университет. И очень скоро автора перевели туда, где он быстро стал одним их самых выдающихся и знаменитых математиков столетия, как в Германии, так и в мире. Из российских математиков его прямой ученицей была Софья Ковалевская, главное достижение которой, впрочем, было не подтверждением, а опровержением точки зрения учителя (который предлагал ей доказать отсутствие новых первых интегралов в задаче о вращении твёрдого тела вокруг неподвижной точки, а она эти интегралы нашла, анализируя причины неудачи своих попыток доказать предположение любимого учителя).