Тавтологичность и случайность законов противоречия и исключенного третьего в формальной логике
Начало положила дискуссия по поводу заметки Тавтологичность и случайность закона о противоположностях и других законов диалектики. После разговора о противоположностях в диалектике понял, что надо уточнить понимание противоположностей в логике. Последнее правда не вызвало откликов, а дискуссия продолжилась здесь и здесь. В дискуссиях возникала ссылка на законы формальной логики (ФЛ). Поэтому, думаю, что полезно разобраться с так называемыми законами противоречия и исключенного третьего в ФЛ. Опять думаю, что большинство из участников сообщества в этом ориентируются, однако, освежить память будет полезно. (Может это не совсем по теме данного сообщества, но считаю, что недалеко от нее отклоняется.)
Обычная формулировка этих законов звучит примерно так:
Закон исключённого третьего - закон классической логики, состоящий в том, что из двух высказываний - «А» или «не А» - одно обязательно является истинным, то есть два суждения, одно из которых является отрицанием другого, не могут быть одновременно ложными (либо истинными), одно из них необходимо истинно, а другое ложно. [ссылка]
Закон непротиворечия (закон противоречия) - закон логики, который гласит, что два несовместимых (противоречащих либо противоположных) суждения не могут быть одновременно истинными. По крайней мере одно из них необходимо ложно. [ссылка]
В выше упомянутых дискуссиях встречалась такая формулировка:
Вот есть общепризнанные законы формальной логики: закон (не)противоречия и закон исключенного третьего. Оба они формулируются по схеме «при таких-то условиях всегда будет так-то». При таких-то условиях: "имеем два противоположных суждения", всегда будет так-то: "они не могут быть одновременно истинными". При таких-то условиях: "имеем два суждения А и не-А", всегда будет так-то: "одно обязательно является истинным". [ ссылка]
Однако, что бы эти формулировки считать законом и использовать, надо знать, что означают отдельные термины, входящие в формулировки. Естественно, что не имея таких знаний, понять а тем более воспользоваться данными законами нельзя. В частности возникают следующие вопросы: Что такое не-А, как имея А получить не-А? Что значит быть истинным? Что значит «и»? На самом деле в ФЛ ответы на эти вопросы имеются. Можно получить на них ответы, указав смысл логических операций с помощью таблиц истинности. В классической логике вводятся такие операции (буду использовать обозначения языка Си, как распространенные и удобные для набора на клавиатуре): отрицания (не) - «!», конъюнкция (и) - «&», дизъюнкция (или) - «|» со следующими таблицами (эти таблицы всем хорошо знакомы, я их воспроизвел для наглядности):
A !A
0 1
1 0
A B A&B
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
A B A|B
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Здесь 1 может означать «истинно», «замкнуто» и т.п., 0 - «ложно», «разомкнуто» и т.п.
Достаточно посмотреть на первую таблицу, как сразу становится ясным, что закон «из двух высказываний - «А» или «не А» - одно обязательно является истинным» есть не что иное, как просто определение операции отрицания. Следовательно, так называемый «закон исключённого третьего» является просто толкованием смысла слова (и логической операции) «отрицание». Ничего более содержательного в такой формулировки нет. Т.е. как только мы не скрываем, что означают отдельные термины, входящие в формулировку, то сразу становиться понятным, что сам закон есть просто пересказ другими словами смысла этих терминов, никакой принципиально новой информации он не дает.
Перейдем к закону противоречия: «два несовместимых (противоречащих либо противоположных) суждения не могут быть одновременно истинными». В этом законе есть небольшая заковырка, связанная с тем, что несовместимые суждения могут быть противоречащими (контрадикторными) либо противоположными (контрарными). (О контрарных и контрадикторных писал ранее.) Замечу между делом, что термин «несовместимые» мне нравиться больше, чем иногда используемый вместо него термин «противоположные», т.к. он без излишней путаницы в словах позволяет разделить суждения на противоречащие и противоположные. Что закон этот имеет место для противоречащих суждений, т.е. суждения и его отрицания А и не-А опять просто видно из определения операции отрицания. Как и с предыдущим законом это есть просто толкованием смысла слова (и логической операции) «отрицание». Т.е., если ограничиться пока только этим, оба закона есть просто пересказ другими словами определения отрицания.
В формулировки этих законов в виде логической тавтологии: A|(!A)=1, !(A&(!A))=1 имеется чуть большее содержание, хотя и эти формулировки совершенно очевидны при беглом взгляде на таблицы, которые определяют логические операции. Но тут хоть есть использование двух операций в одной формуле. Но сами законы вместе с тем дают меньше информации, чем сами по себе таблицы истинности этих операций.
Более того, приведенные три логические операции не являются независимыми и могут быть выражены друг через друга, например: !(A&B)=(!A)|(!B). В этом опять легко убедится из таблиц истинности, т.е. это опять просто следствие определения операций. Но тогда закон противоречия есть просто иная запись (пересказ другими словами) закона исключенного третьего: !(A&(!A))=(!A)|(!!A)=(!A)|A. Впрочем, это вполне естественно, т.к. сами эти законы есть просто другое название для операции отрицания.
Несколько отдельно стоит вопрос о противоположных (контрарных) высказываниях по отношению к закону противоречия. Они уже не являются отрицанием друг друга. Тогда закон звучит так: «два противоположных суждения не могут быть одновременно истинными». Но что бы эту формулировку считать законом, необходимо независимо от закона определить, что есть противоположные суждения. Но противоположные (контрарные) суждения так и определяются, как суждения, которые не могут быть оба одновременно истинными. Т.е. вся эта формулировка еще хуже, чем для противоречащих высказываний, она весьма похожа на собачку, кусающую свой хвост. Под именем закона здесь просто маскируется определение противоположностей и бег по кругу. Это все даже еще хуже, чем просто заявить, что красное есть красное. Т.к. такая пустая тавтология здесь обозначается словом закон и запрятана поглубже. И это не случайно, т.к. позволяет человеку, используя этот закон, сохранить умный вид, в противном случае, ему пришлось бы признать, что законом он тут называет в точности то, что раньше называл определением.
Разумеется, что логические тавтологии, в виде которых эти законы могут быть сформулированы, играют важную роль в ФЛ, т.к. позволяют преобразовывать вид (форму) сложных высказываний. Но таких тавтологий много, они не исчерпываются этими двумя законами. И тут они безусловно полезны, как полезны в алгебре тождества, типа A+(-B)=A-B.
Разобравшись со тавтологичностью (в строго логическом смысле этого термина) перейдем к случайности. Она связана вот с чем, сами таблицы, которые определяют логические операции, выбраны достаточно произвольно, т.е. случайно. Вполне можно использовать следующие таблицы:
A !A
0 1
1 2
2 0
A B A|B
1 0 1
1 1 1
1 2 2
0 0 0
0 1 1
0 2 2
2 0 2
2 1 2
2 2 2
Здесь 0 можно понимать как «ложно», «разомкнуто» и т.п., 2 - «истинно», «замкнуто» и т.п., 1 - «неопределенно» и т.п.
Эти таблицы нечем не хуже, чем классические. Но для так определенных операций двойное отрицание не есть утверждение (!!A не есть A) и не выполняется закон исключенного третьего.
Таким образом, с законами ФЛ надо обходиться осторожно. Если понимать их свойства, то они принесут пользу. Но здесь как и с другими законами. Мало знать формулировку (которая может оказаться просто тавтологией) законов, надо еще уметь их применять.
Еще, конечно, знание формулировок законов можно использовать для того, что бы произвести впечатление на собеседника:)