"Физика по-домашнему": Аттестации посвящается. 3-й класс. Май. Канун. 2 часть.
Математика. Периметр и площадь.
Следующий важный вопрос - это площадь.
- Ты понимаешь, что такое площадь?
- Да.
- И что площадь?
- Ну это, например: стоит дерево и его корни занимают какое-то пространство, это и есть площадь.
- Хорошо. А как померить площадь у прямоугольника?
Но она уже не слушает меня:
- А, вспомнила: надо всю эту площадь заложить прямоугольниками! - выудила она какую-то сомнительную информацию из глубин памяти. Конечно, этого ей никто никогда не говорил, просто все аттестации содержали, естественно, прямоугольники. И вот в её памяти всё это приняло вот такую вот причудливую форму.
- Нет, неверно. Точнее, можно и так. Но почему укладывать будем прямоугольниками? - Прямоугольники-то точно не влезут, точнее - это будет совершенно неудобно, ведь края у площади, занимаемой корнями - неровные, сужающиеся, сглаженные. Но да, если площадь имеет сложную форму, то можно и прямоугольниками. - И, выждав паузу, дав время хотя бы сосредоточится, продолжаю:
- Потому что, как ты помнишь, площадь прямоугольника посчитать проще всего. Потому что с неё всё, в сущности, началось. Я имею исторический контекст. Так что мы отвлечёмся от площади, которую занимают корни деревьев и вернёмся к площади прямоугольника, ведь если я выложу всё прямоугольниками, то я подразумеваю, что площадь прямоугольника я могу посчитать легко.
- Ну, если у прямоугольника вот эти и эти стороны одинаковые. - Размахивает руками в воздухе. Мы как раз подошли к перекрёстку и ждём зелёный цвет.
- “Эти” и “эти” стороны, - немного передразниваю я её, - у прямоугольника всегда одинаковые. По определению прямоугольника. Поскольку углы у него все прямые, а стороны, соответственно, параллельные, потому что иначе прямых углов не получится никак, то и стороны тоже, соответственно, равные. Всё верно?
- В общем надо сложить две вот эти разные стороны. - Глаза её словно блуждают в пространстве, и я вижу, что она пытается отыскать где-то на полках своей памяти такую некстати нужную сейчас информацию. Вау, у неё там что-то уже есть!
- Нет. Неверно. Если ты сложишь две стороны, то что ты получишь?
- Периметр.
- Нет, это даже не периметр. Периметр - это…
- Ну, просто надо взять дважды. - Старается она придать непринёждённость своей фактической ошибке, но я на такие провокации не поддаюсь: не тот возраст; но про себя, тем не менее тяну: “О….”, - впав, конечно, в крайнюю степень умиления и восхищения в один миг.
- Не надо делать ни мне, ни прямоугольнику, ни периметру одолжений. Просто посчитай правильно. - Возвращаемся мы к нашим баранам. - Хорошо. Про периметр, будем думать, что вспомнили. А что такое площадь?
- А, вспомнила, надо умножить!
- Хорошо, что вспомнила. - Я, конечно, радуюсь. - А почему умножить?
- Допустим возьмём квадрат...
- Квадрат мы брать не будем.
- Со сторонами три. Тогда площадь - девять. - Даже не слушает она меня. Она уже опять в своём мире манускриптов и книжных полок.
- Почему мы не будем брать квадрат? - Выныривает она из своей внутренней библиотеки наружу, ко мне.
- Потому что квадрат - частный случай прямоугольника. Но для квадрата - правильно. Теперь что касается хоть прямоугольника, хоть квадрата. Еще раз: почему мы выбираем операцию умножения, а не какую-нибудь другую?
Молчит. А я удивляюсь, что теперь эту операцию, к которой она, в сущности, привыкла уже, приходится “раскручивать” в другом направлении.
- Хорошо, давай вместе. Площадь, как ты верно заметила, это вся, так сказать, территория внутри фигуры. Периметр мы можем как бы развернуть в линию и пройти в одном направлении. - Мы как раз перешли перекрёсток и стремительно перебираем ногами, направляясь в сторону метро. Как всегда, с опозданием. Дорога к метро от перекрёстка - эдакая бытовая прямая (Как дойти? - Идите всё время прямо).
- Когда мы имеем дело с линией, то мы имеем дело с одномерным пространством. - Продолжаю я, а сама себе удивляюсь: чего только не придёт в голову стремительно идущей маме с физфаковзким образованием! - И поэтому можем просто складывать. Сколько единиц длины мы сюда уложим, например, шагов или сантиметров? А что же с площадью? Площадь мы можем развернуть? Нет. Точнее, можем, если мы возьмём какую-то длину за единицу. И вот уже эту дорожку, ширина которой равна этой единице, не линию, а именно дорожку с известной шириной, которую мы называем единичной, мы можем развернуть. Но это как вариант. Давай вернёмся к целой фигуре. С ней мы, в сущности, можем поступить так же: мы должны взять внутри маленькие площади, длина стороны которых равна условной единице, которую мы выбрали, например, сантиметру. Это будут такие единичные квадратики. - Я всё это время активно жестикулирую и показываю всё на пальцах, как умею. - И тогда вот этот квадратик, один на один, и будет единичной площадью. Почему квадратик? Так условились. Потому что это тут самая простая единица, форма, которую легко считать, и которую легко понять и, главное состыковать. И вот мы их складываем плотно друг к другу, раз все они прямоугольные, между ними нет зазоров. И что получаем? Просто напросто как будто в магазине много банок, например, сгущёнки стоят друг на друге. А как мы считаем такие регулярные структуры? Правильно, умножением. Почему? Потому что умножение - это компактная форма сложения. Если у нас есть одинаковое количество клеточек, которые собраны в какое-то количество строк, в каждой из которых одинаковое количество столбцов, - говорю я максимально медленно и ещё медленнее, - то мы можем их все по очереди посчитать. Так? А умножение - это какое-то одинаковое количество чего-то, взятое какое-то количество раз. Всё верно?
Яна вдумчиво, медленно, кивает головой.
- И поэтому, когда мы запомнили это уже очень хорошо, то когда мы видим какую-то регулярную структуру, то сразу можем умножать. Что такое площадь прямоугольника? - возвращаюсь я почти в начало. - Это единичные квадратики сложенные одинаковыми штабелями - длина основания, или “эта сторона”, как ты её назвала - какое-то количество раз - это другая “эта”, как ты её назвала, сторона. Конечно, это не банки со сгущёнкой, но тоже вполне себе регулярная структура, по-моему. А по-твоему?
- Да. Тоже.