Теория категорий для школьников.
Я как-то распространялся для любопытных в узком трейдерском кругу о том, что такое теория категорий. Типа это все просто и объяснял на пальцах, мой текст у меня лежит где-то в архивах, ну и пусть лежит, примерно такой же текст недавно выложил один добрый человек. Ну и типа знания в массы и чтобы под рукой текст лежал. ))
Знакомьтесь, теория категорий на пальцах. )
Категория (математическое понятие) это просто граф с некоторыми дополнительными свойствами.
Подробнее ниже.
===цитата===
Вы переоцениваете сложность категорий. Основы можно изложить всего в нескольких абзацах.
Рассмотрим ориентированный мультиграф - мультиграф это почти как обычный граф, только между двумя вершинами может быть сколь угодно много стрелок, а не только нуль или одна, как в обычном графе. Путем из начальной вершины в конечную будем называть последовательность стрелок такую, что конец очередной стрелки - начало последующей. Примем, что для каждого пути из первой вершины во вторую существует - определена, указана, - одна стрелка оттуда туда же, называемая композицией этого пути. Также примем, что в каждой вершине висит петелька, называемая тождественной стрелкой. Потребуем выполнения двух аксиом:
1. композиция всего пути не изменится, если любой подпуть заменить композицией
2. если выкинуть из пути тождественную стрелку, то композиция пути не изменится
Такой мультиграф называется категорией.
Если в качестве вершин взять всевозможные множества, в качестве стрелок - отображения множеств, то получится категория Set всех множеств. Если в качестве вершин взять всевозможные группы, в качестве стрелок - гомоморфизмы групп, то получится категория Grp всех групп. Аналогично определяются категории колец, алгебр, векторных пространств (стрелки - линейные отображения) и т.п. Не обязательно рассматривать все множества - если взять три множества и рассмотреть пять-шесть функций между ними, то это тоже получится категория, причем вполне обозримая, её можно будет даже зарисовать на бумажке.
По-другому вершины называются объекты, стрелки называются морфизмы.
Подобно тому как между группами есть гомоморфизмы, между категориями есть функторы. Функтор - это отображение первой категории во вторую, которое объекты переводит в объекты, стрелки - в стрелки, сохраняет концы стрелок и сохраняет тождественные морфизмы. А ещё функтор перестановочен с операцией композиции - если взять путь и применить функтор к композиции этого пути, то получится в точности та же самая стрелка, которая получится, если применить функтор к каждой стрелке пути по отдельности и взять композицию уже потом.
Так же быстро определяются естественные преобразования, всевозможные -измы, конусы, пределы, монады и топосы.
Metford в сообщении #1207286 писал(а):
нужен пример того, как в терминах теории категорий формулируется нечто физическое.
Самый известный пример, как мне кажется, - категории Фукая. Не знаю, насколько они просты, но, вроде бы как, вполне физичны. С теорией бран они точно связаны.
kp9r4d в сообщении #1208883 писал(а):
группы
Кстати, здесь возникает довольно наглядный пример обогащения языка.
Группой называется категория с одним объектом, в которой каждая стрелка - изоморфизм.
С обычной группой это связано так: элементы этой категории образуют группу относительно операции композции, тождественный элемент будет единицей этой группы.
Функторы из группы в Set - это в точности действия группы.
Функторы из группы в Vect - это в точности линейные представления группы.
Функторы из группы в произвольную категорию будут "действиями" этой группы на произвольной категории. Эти действия интересно исследовать, поскольку на них переносится вся интуиция, связанная с действиями и представлениями.
И ведь такая красота есть не только для групп. Например, примем, что у нас есть категория с одним объектом. Она называется кольцом, если на множестве её стрелок введена операция "плюсик", относительно которой стрелки образуют абелеву группу, и вдобавок относительно которой композиция стрелок дистрибутивна. Такая категория называется кольцом.
Так вот, модулями над этим кольцом будут в точности функторы в категорию абелевых групп. Но интуицию, связанную с модулями, можно перенести и на функторы в другие категории.
kp9r4d в сообщении #1208193 писал(а):
это более-менее невозможно без какого-либо ущемления категорий
Вроде бы для этого достаточно одного большого кардинала. Не уверен. Про это где-то написал Ловер, а где - я забыл.
Mikhail_K в сообщении #1208266 писал(а):
Как определить множества только в терминах теории категорий и пользуясь только её аксиоматикой.
Маклейн предложил формальный язык, содержащий логику первого порядка и несколько нелогических аксиом; аксиомы множеств в этот язык не входят. Этот язык называется "метакатегория". На этом языке (и его диалектах) можно дать чистое определение множеств, чистое определение групп и даже чистое определение категорий. Самые известные результаты здесь принадлежат Ловеру. Он предложил диалект метакатегории под названием ETAC (элементарную теорию абстрактной категории) и с его помощью сделал ETCC и ETCS - соответственно элементарную теорию категории всех категорий и элементарную теорию категории всех множеств, то есть метаязык для категорий и метаязык множеств, в которых не встречается слово "множество" и тем более "класс".
ETCS слабее ZFC. Самое заметное отличие в том, что Ловер недолюбливает аксиому подстановки и утверждает, что с её помощью можно строить "эзотерические" сущности. Вслед за Ловером эту аксиому не любит и его научная школа. Однако во-первых, все недостающие аксиомы ZFC можно добавить к ETCS, во-вторых, чистая ETCS предоставляет уже довольно-таки большой запас множеств - по меньшей мере вплоть до алеф-омеги.
Проблема здесь не в том, чтобы получить хоть какое-то определение множеств на категорном языке. Таких определений много - берем элементарный топос и добавляем к нему столько аксиом, сколько нам угодно. Проблема в том, что не получается среди большого вороха возможных топосов выбрать какой-нибудь один и назначить его естественной, самой каноничной теорией множеств. Внезапно оказывается, что у топоса, являющегося ZFC, нет никаких преимуществ по сравнению с другими топосами. Он даже не самый красивый. Повторяется та же ситуация, которая была с геометриями: есть целая россыпь геометрий на любой вкус, и выбрать из них какую-нибудь одну "правильную" - сложно.
К слову, дело не ограничивается множествами. Можно чистым языком теории категорий определить категорию всех групп, тогда понятие "группа" можно будет определить как "объект категории групп". И так для любой известной структуры. Но это не слишком интересно.
Mikhail_K в сообщении #1208266 писал(а):
Можно ли определить
действительно строго средствами теории категорий
Да, можно. Только определяются не натуральные числа, но сразу множество всех натуральных чисел: даются требования к объекту, являющиеся категорной переформулировкой аксиом Пеано. Тогда этот объект оказывается множеством натуральных чисел. Интересно, что такие объекты возникают во многих разных категориях, что даёт нетривиальные примеры множеств со структурой Пеано.
==== ====
Chanzaa http://dxdy.ru/post1209425.html#p1209425
Там, половина текста немного лишнего, но не хочу убирать.
Ранее делал посты на сходные темы:
О числах. http://deep-econom.livejournal.com/33539.html
Что такое абстрактная алгебра? http://deep-econom.livejournal.com/35069.html
Что такое логика? http://deep-econom.livejournal.com/29115.html