вероятность продолжения последовательности
Формула Готта и закон последования.
Закон последования был впервые сформулирован Лапласом в связи с так называемой "проблемой восхода солнца".
http://en.wikipedia.org/wiki/Sunrise_problem
Лаплас задался вопросом, какова математическая вероятность того, что солнце взойдёт завтра. Если известно только число солнечных восходов от дня сотворения мира 6000 лет назад.
Интуитивно понятно, что если солнце восходила ,скажем, 100 раз, то вероятн,ость его восхода в следующий раз должна быть примерно 99/100
В дейтсвительности есть точная формула закона последования
http://en.wikipedia.org/wiki/Rule_of_succession
P=(n+1)/(n+2)= 101/102 (в нашем случае)
Q=1-Р= 1/(n+2) (шансы не восхода)
Эта формула выводится в общем случае через интегрирование в предположении о том, что сама вероятность является равномерно распеределённой случайной величиной.
С другой стороны, существует формула Готта. Она говорит о том, сколько ещё просуществует непрерывная последовательность, если она уже продолжается n элементов с заданной вероятностью.
например, если некая вещь существует время T, то формула Готта утверждает , что с вероятностью в 50 процентов эта вещь просуществует ещё от 1/3T до 3T
В нашем примере, если солнце взошло 100 раз, то можно ожидать, что общее число восходов будет от 133 до 400 с вероятностью в 50 процентов.
математическая запись формулы Готта такова:
(1-p)/(1+p)T0 < T < (1+p)/(1-p)T0
где T0 - возраст системы в момент наблюдения, а р - заданный уровень достоверности, T - время существования системы после T0.
вывод формулы Готта см. здесь: http://info.phys.unm.edu/papers/2000/Caves2000a.pdf на стр. 2-3.
он базируется на предположении о том, что мы наблюдаем систему в случайный момент времени, и промежутки времени прорциональны вероятности. Например, шансы на то, что мы наблюдаем только первую 1/100 времени существования системы примерно равны 1 проценту. Иначе говоря, с вероятностью 99 процентов система просуществует меньше чем ещё 100 нынешних возрастов. ("примерно" возникает только за счёт того, что мы должны вычистать 1 в счёт уже прошедшего промежутка времени.)
другой вывод формулы готта дан в http://ru.wikipedia.org/wiki/Doomsday_argument
с помощью теоремы байса и интегрирования.
Возникает желание сравнить формулу Готта и закон последования. В законе последования нам дано число, а надо получить вероятность, тогда как в формуле Готта нам дана вероятность, а надо получить будущий возраст.
В общем они согласуются, так как показывают, что ожидаемое время существования убывает как 1/n
Теперь осталось разобраться с анекдотом про динозавра, который, наверное уже вспомнился некоторым читателям, если таковые имеются: насчёт того, что шансы встречи его равны 50 процентов - или встретишь, или нет. Анекдот этот высмеивает неверное применение байесовой логикой - а именно, в нём не учитывает априорное знание о том, что динозары вымерли.
https://turchin.livejournal.com/455456.html
Закон последования был впервые сформулирован Лапласом в связи с так называемой "проблемой восхода солнца".
http://en.wikipedia.org/wiki/Sunrise_problem
Лаплас задался вопросом, какова математическая вероятность того, что солнце взойдёт завтра. Если известно только число солнечных восходов от дня сотворения мира 6000 лет назад.
Интуитивно понятно, что если солнце восходила ,скажем, 100 раз, то вероятн,ость его восхода в следующий раз должна быть примерно 99/100
В дейтсвительности есть точная формула закона последования
http://en.wikipedia.org/wiki/Rule_of_succession
P=(n+1)/(n+2)= 101/102 (в нашем случае)
Q=1-Р= 1/(n+2) (шансы не восхода)
Эта формула выводится в общем случае через интегрирование в предположении о том, что сама вероятность является равномерно распеределённой случайной величиной.
С другой стороны, существует формула Готта. Она говорит о том, сколько ещё просуществует непрерывная последовательность, если она уже продолжается n элементов с заданной вероятностью.
например, если некая вещь существует время T, то формула Готта утверждает , что с вероятностью в 50 процентов эта вещь просуществует ещё от 1/3T до 3T
В нашем примере, если солнце взошло 100 раз, то можно ожидать, что общее число восходов будет от 133 до 400 с вероятностью в 50 процентов.
математическая запись формулы Готта такова:
(1-p)/(1+p)T0 < T < (1+p)/(1-p)T0
где T0 - возраст системы в момент наблюдения, а р - заданный уровень достоверности, T - время существования системы после T0.
вывод формулы Готта см. здесь: http://info.phys.unm.edu/papers/2000/Caves2000a.pdf на стр. 2-3.
он базируется на предположении о том, что мы наблюдаем систему в случайный момент времени, и промежутки времени прорциональны вероятности. Например, шансы на то, что мы наблюдаем только первую 1/100 времени существования системы примерно равны 1 проценту. Иначе говоря, с вероятностью 99 процентов система просуществует меньше чем ещё 100 нынешних возрастов. ("примерно" возникает только за счёт того, что мы должны вычистать 1 в счёт уже прошедшего промежутка времени.)
другой вывод формулы готта дан в http://ru.wikipedia.org/wiki/Doomsday_argument
с помощью теоремы байса и интегрирования.
Возникает желание сравнить формулу Готта и закон последования. В законе последования нам дано число, а надо получить вероятность, тогда как в формуле Готта нам дана вероятность, а надо получить будущий возраст.
В общем они согласуются, так как показывают, что ожидаемое время существования убывает как 1/n
Теперь осталось разобраться с анекдотом про динозавра, который, наверное уже вспомнился некоторым читателям, если таковые имеются: насчёт того, что шансы встречи его равны 50 процентов - или встретишь, или нет. Анекдот этот высмеивает неверное применение байесовой логикой - а именно, в нём не учитывает априорное знание о том, что динозары вымерли.
https://turchin.livejournal.com/455456.html