Минутка математической илонмаскологии
Оригинал взят у wild_wolfman в Минутка математической илонмаскологии
На днях дятлы информационных агентств™ сообщили, что SpaceX наконец-то запустила «Фалькон» с повторным использованием возвращённой ступени. Немедля в интернетах оживился изрядный пласт граждан, погнавший волну перепостов с комментариями в стиле: мол, Илон Маск внезапно™ посрамил критиков, а значит, дешёвая частная космонавтика уже совсем не за горами, и вот-вот стильные многоразовые «Фальконы» похоронят старые неэффективные «Протоны».
Не оспаривая самого факта объективных технических достижений, потребных для посадки возвращаемой ступени на сопло - захотелось немного внимательнее рассмотреть эти самые мечты о «дешёвой космонавтике» и «экономии-на-возврате». Рассмотреть с самых базовых позиций, в рамках простой математики.
Напомню, что исходный посыл всего проекта SpaceX состоял не в возвращении ступени как таковой. Исходный посыл, согласно заявлениям самого Маска, состоял в том, что за счёт повторного использования этой самой ступени космические запуски «Фалькона» якобы подешевеют на порядки, и это и послужит спуском для «дешёвой частной космонавтики». Примем такое заявление в качестве исходного допущения и попытаемся определить граничные условия, в рамках которых такое заявление в принципе может быть выполнено. Для ещё большей простоты не будем пока замахиваться на многие порядки; оценим, что нужно для удешевления многоразовых запусков хотя бы вдвое.
Итак, допустим, нам нужно запустить наш «Фалькон» с грузом на орбиту. Базовую стоимость запуска C0 - для новой и цельной ракеты - примем за 100% или просто 1. В ракете присутствует потенциально возвращаемая ступень; обозначим стоимость этой ступени за P. Тогда стоимость невозвращаемых компонентов (всех вместе, плюс топливо) будет равна 1 - P. В нулевом приближении пренебрежём пока накладными расходами и будем считать только стоимость частей как таковых.
При первом запуске, очевидно, нам потребуется цельная ракета, а значит, и затраты на него будут равны полной её стоимости. Однако во втором и последующих запусках мы можем использовать возвращённую ступень, и в этом случае придётся тратиться только на невозвращаемые части. Исходя из этого, несложно подсчитать, что серия из N последовательных запусков с одной и той же возвращаемой ступенью обойдётся в
Csum = 1 + (1 - P)(N - 1).
Средняя же стоимость единичного запуска в этой серии составит
CN = Csum/N = 1 - P(1 - 1/N).
При последующем увеличении числа запусков (N → ∞) единичный запуск будет удешевляться вплоть до
Cavg = limN→∞(1 - P(1 - 1/N)) = 1 - P.
Иными словами: если использовать в ракетах возвращаемую ступень, то каждый отдельный запуск удешевится не больше чем на стоимость этой самой ступени. Казалось бы, утверждение простое и совершенно очевидное из самой постановки задачи - однако гражданам, вдохновенно рассказывающим про «дешёвые полёты в космос от Илона Маска», оно совершенно не очевидно.
Теперь, опираясь на предыдущий результат, посчитаем обратно граничные условия. И получим: чтобы вдвое удешевить запуск, стоимость нашей возвращаемой ступени должна составлять не меньше половины от стоимости всей ракеты целиком. А для удешевления запусков, в рамках заявлений Маска, на порядок - в 10 раз - возвращаемая часть должна стоить больше 90% от всего «Фалькона».
Если же перейти от нулевого хотя бы к первому приближению - вдобавок к перечисленному обнаружится масса дополнительных затрат (условно обозначим их все как T). В частности, возвращённую ступень каждый раз требуется ловить (где-то в море на специальную баржу), перевозить (по морю и суше), хранить (в специальных условиях) и дефектоскопировать (тщательно и подробно). Значит, реально возможная стоимость единичного запуска составит в среднем
CN = 1 - (P - T)(1 - 1/N).
Учитывая, что три из четырёх перечисленных пунктов затрат потребны даже для новенькой ещё никуда не летавшей ступени, а с каждым очередным возвращением вдобавок и возрастают, получим дополнительное условие: T → P. Тогда, очевидно, оценочное удешевление единичного запуска -
Creal = limN→∞,T→P(1 - (P - T)(1 - 1/N)) = 1 = C0,
C0 - Creal → 0.
И тут мы обнаруживаем, что уже в первом приближении к практической реальности - ожидаемой выгоды от возвращаемой ступени у нас нет.
А рассказы о том, как «Фальконы с возвращаемыми ступенями от Илона Маска откроют всем дешёвую частную космонавтику» - рассчитаны на граждан, не осиливших курс алгебры старших классов школы.
Такие дела.
На днях дятлы информационных агентств™ сообщили, что SpaceX наконец-то запустила «Фалькон» с повторным использованием возвращённой ступени. Немедля в интернетах оживился изрядный пласт граждан, погнавший волну перепостов с комментариями в стиле: мол, Илон Маск внезапно™ посрамил критиков, а значит, дешёвая частная космонавтика уже совсем не за горами, и вот-вот стильные многоразовые «Фальконы» похоронят старые неэффективные «Протоны».
Не оспаривая самого факта объективных технических достижений, потребных для посадки возвращаемой ступени на сопло - захотелось немного внимательнее рассмотреть эти самые мечты о «дешёвой космонавтике» и «экономии-на-возврате». Рассмотреть с самых базовых позиций, в рамках простой математики.
Напомню, что исходный посыл всего проекта SpaceX состоял не в возвращении ступени как таковой. Исходный посыл, согласно заявлениям самого Маска, состоял в том, что за счёт повторного использования этой самой ступени космические запуски «Фалькона» якобы подешевеют на порядки, и это и послужит спуском для «дешёвой частной космонавтики». Примем такое заявление в качестве исходного допущения и попытаемся определить граничные условия, в рамках которых такое заявление в принципе может быть выполнено. Для ещё большей простоты не будем пока замахиваться на многие порядки; оценим, что нужно для удешевления многоразовых запусков хотя бы вдвое.
Итак, допустим, нам нужно запустить наш «Фалькон» с грузом на орбиту. Базовую стоимость запуска C0 - для новой и цельной ракеты - примем за 100% или просто 1. В ракете присутствует потенциально возвращаемая ступень; обозначим стоимость этой ступени за P. Тогда стоимость невозвращаемых компонентов (всех вместе, плюс топливо) будет равна 1 - P. В нулевом приближении пренебрежём пока накладными расходами и будем считать только стоимость частей как таковых.
При первом запуске, очевидно, нам потребуется цельная ракета, а значит, и затраты на него будут равны полной её стоимости. Однако во втором и последующих запусках мы можем использовать возвращённую ступень, и в этом случае придётся тратиться только на невозвращаемые части. Исходя из этого, несложно подсчитать, что серия из N последовательных запусков с одной и той же возвращаемой ступенью обойдётся в
Csum = 1 + (1 - P)(N - 1).
Средняя же стоимость единичного запуска в этой серии составит
CN = Csum/N = 1 - P(1 - 1/N).
При последующем увеличении числа запусков (N → ∞) единичный запуск будет удешевляться вплоть до
Cavg = limN→∞(1 - P(1 - 1/N)) = 1 - P.
Иными словами: если использовать в ракетах возвращаемую ступень, то каждый отдельный запуск удешевится не больше чем на стоимость этой самой ступени. Казалось бы, утверждение простое и совершенно очевидное из самой постановки задачи - однако гражданам, вдохновенно рассказывающим про «дешёвые полёты в космос от Илона Маска», оно совершенно не очевидно.
Теперь, опираясь на предыдущий результат, посчитаем обратно граничные условия. И получим: чтобы вдвое удешевить запуск, стоимость нашей возвращаемой ступени должна составлять не меньше половины от стоимости всей ракеты целиком. А для удешевления запусков, в рамках заявлений Маска, на порядок - в 10 раз - возвращаемая часть должна стоить больше 90% от всего «Фалькона».
Если же перейти от нулевого хотя бы к первому приближению - вдобавок к перечисленному обнаружится масса дополнительных затрат (условно обозначим их все как T). В частности, возвращённую ступень каждый раз требуется ловить (где-то в море на специальную баржу), перевозить (по морю и суше), хранить (в специальных условиях) и дефектоскопировать (тщательно и подробно). Значит, реально возможная стоимость единичного запуска составит в среднем
CN = 1 - (P - T)(1 - 1/N).
Учитывая, что три из четырёх перечисленных пунктов затрат потребны даже для новенькой ещё никуда не летавшей ступени, а с каждым очередным возвращением вдобавок и возрастают, получим дополнительное условие: T → P. Тогда, очевидно, оценочное удешевление единичного запуска -
Creal = limN→∞,T→P(1 - (P - T)(1 - 1/N)) = 1 = C0,
C0 - Creal → 0.
И тут мы обнаруживаем, что уже в первом приближении к практической реальности - ожидаемой выгоды от возвращаемой ступени у нас нет.
А рассказы о том, как «Фальконы с возвращаемыми ступенями от Илона Маска откроют всем дешёвую частную космонавтику» - рассчитаны на граждан, не осиливших курс алгебры старших классов школы.
Такие дела.