Клуб имени $100
Немного несложной математики вам в ленту. Один товарищ придумал «хитрую» пирамиду. Вкратце правила такие:
Вступление в клуб стоит 100$ единоразово. Часть идёт администрации (10$), остальное делится поровну между членами клуба. Первый участник вносит 100$, 10$ идут в администрацию, 90$ делятся между участниками клуба, т.е возвращаются ему. 100$ второго участника минус 10$ делятся на двоих членов, т.е. первый и второй участник получат по 45$. Третий получит назад 30$, ну и так далее.
Утверждается:
Таким образом, человек, единожды вступивший в клуб, обеспечивает себе пожизненный пассивный доход, правда, неизвестного размера.
Я сразу заметил, что доход вполне можно оценить. И что он будет очень скромным даже для первых членов. Для последующих участие является совсем невыгодным - они никогда не вернут даже начальный взнос. (В комментариях к исходной записи я на глаз оценил, что не больше 5000$ получит самый первый член, даже если все жители Земли вступят в эту пирамиду).
Наглядно доход каждого члена (Дn) выглядит так:
Д1 = -10 + 90/1 + 90/2 + 90/3 + 90/4 + ... = -10 + 90 (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...)
Д2 = -10 + 90/2 + 90/3 + 90/4 + ... = -10 + 90 ( 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...)
Д3 = -10 + 90/3 + 90/4 + ... = -10 + 90 ( 1/3 + 1/4 + ...)
....
Что же мы видим? Доход первого члена клуба состоит из множителя (90$) на сумму обыкновенного гармонического ряда в чистейшем виде, минус 10$ который каждый однократно отдаёт организатору. У каждого следующего члена клуба всё больше первых членов ряда отбрасывается. Доход их уменьшается, вплоть до последних (начиная с не очень далёких номеров), у которых останется только хвостик гармонического ряда и которые будут просто отдавать почти 90$ на доход остальным.
Несмотря на то, что общий член гармонического ряда стремится к нулю, этот ряд является расходящимся (классическая иллюстрация того, что это необходимый, но не достаточный признак сходимости ряда). То есть при росте числа членов ряда до бесконечности сумма ряда тоже стремится к бесконечности.
Разговор на экзамене по матану.
Преподаватель:
- Что вы будете делать, если я попрошу вас посчитать сумму этого ряда?
Студент:
- Я охуею!
Преподаватель:
- Правильно, он не сходится.
Это к тому, что, например, ряд 1+1/2+1/4+1/8+... при бесконечном количестве членов имеет конкретную сумму 2.
Бесконечное количество математиков заходят в бар. Первый говорит: «Мне пол литра пива, пожалуйста». Второй говорит: «А мне четверть литра». Третий: «Мне одну восьмую». Четвертый: «Мне одну шестнадцатую»...
Бармен: «Не ебите мне мозг, вот вам литр на всех».
Если в эту схему вовлечётся бесконечное количество членов, то каждый получит бесконечное количество денег. Но так бывает только в математике. Если же в пирамиду придёт просто огромное, но конечное количество людей, то заработают они гроши. Да, гармонический ряд расходится (и сумма его всегда растёт), но расходится он крайне медленно. При значительном увеличении числа членов ряда сумма растёт всё медленнее. Немудрено, ведь частичная сумма ряда (сумма первых n членов, так называемое n-ное гармоническое число) асимптотична ln(n) без учёта константы:
Sn = ln(n) + γ + εn ≈ ln(n) + γ,
где постоянная Эйлера γ ≈ 0,577
Как видно выше, множитель в доходе каждого члена клуба равен сумме гармонического ряда с количеством членов равным общем количеству участников минус сумма гармонического ряда с количеством членов, равным числу членов пришедших до него. Доход каждого члена (m - количество участников пирамиды, A - оплата в администрацию, B - остаток взноса, который делится):
Д1 = -A + B*(Sm-S0)
Д2 = -A + B*(Sm-S1)
...
Дn = -A + B*(Sm-Sn-1)
...
Дm = -A + B*(Sm-Sm-1)
В итоге доход n-ного члена пирамиды (кроме первого, конечно, там просто S0=0):
Дn = -A + B((ln(m)+γ+εm)-(ln(n-1)+γ+εn-1))
Для больших номеров и требуемой точности эпсилонами можно пренебречь (εn→0 при n→∞), постоянная Эйлера сокращается, получаем простую элегантную формулу:
Дn ≈ -A + B(ln(m)-ln(n-1))
Вопрос 1. Начиная с какого члена пирамиды они никогда не вернут свои деньги? Очевидно, когда выполнится равенство:
-A + B(ln(m)-ln(n-1)) ≈ A+B
ln(m)-ln(n-1) ≈ (2A+B)/B
ln(n-1) ≈ ln(m) - 2A/B - 1
n-1 ≈ e(ln(m) - 2A/B - 1)
n ≈ e(ln(m) - 2A/B - 1) + 1
В наших условиях A=10, B=90, пусть m=7*109 (всё население Земли)
n ≈ e(ln(7 000 000 000) - 2/9 - 1) + 1 ≈ 2,06*109
Для населения России 143 млн:
n ≈ e(ln(143 000 000) - 2/9 - 1) + 1 ≈ 42 124 201
Примерно после трети участников вступивший никогда не выиграет.
Вопрос 2. Сколько получит первый член пирамиды?
Д1 ≈ -A + B(ln(m)+γ)
Если всё население Земли вступит, то первый член получит:
Д1 ≈ -10$ + 90$⋅(ln(7 000 000 000)+γ) ≈ 2082$
Всё население России:
Д1 ≈ -10$ + 90$⋅(ln(143 000 000)+γ) ≈ 1732$
Всё население Уфы:
Д1 ≈ -10$ + 90$⋅(ln(1 075 000)+γ) ≈ 1292$
Разбогатеть не получится никому, кроме администрации. Всё как и должно быть в этой жизни.
Вступление в клуб стоит 100$ единоразово. Часть идёт администрации (10$), остальное делится поровну между членами клуба. Первый участник вносит 100$, 10$ идут в администрацию, 90$ делятся между участниками клуба, т.е возвращаются ему. 100$ второго участника минус 10$ делятся на двоих членов, т.е. первый и второй участник получат по 45$. Третий получит назад 30$, ну и так далее.
Утверждается:
Таким образом, человек, единожды вступивший в клуб, обеспечивает себе пожизненный пассивный доход, правда, неизвестного размера.
Я сразу заметил, что доход вполне можно оценить. И что он будет очень скромным даже для первых членов. Для последующих участие является совсем невыгодным - они никогда не вернут даже начальный взнос. (В комментариях к исходной записи я на глаз оценил, что не больше 5000$ получит самый первый член, даже если все жители Земли вступят в эту пирамиду).
Наглядно доход каждого члена (Дn) выглядит так:
Д1 = -10 + 90/1 + 90/2 + 90/3 + 90/4 + ... = -10 + 90 (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...)
Д2 = -10 + 90/2 + 90/3 + 90/4 + ... = -10 + 90 ( 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...)
Д3 = -10 + 90/3 + 90/4 + ... = -10 + 90 ( 1/3 + 1/4 + ...)
....
Что же мы видим? Доход первого члена клуба состоит из множителя (90$) на сумму обыкновенного гармонического ряда в чистейшем виде, минус 10$ который каждый однократно отдаёт организатору. У каждого следующего члена клуба всё больше первых членов ряда отбрасывается. Доход их уменьшается, вплоть до последних (начиная с не очень далёких номеров), у которых останется только хвостик гармонического ряда и которые будут просто отдавать почти 90$ на доход остальным.
Несмотря на то, что общий член гармонического ряда стремится к нулю, этот ряд является расходящимся (классическая иллюстрация того, что это необходимый, но не достаточный признак сходимости ряда). То есть при росте числа членов ряда до бесконечности сумма ряда тоже стремится к бесконечности.
Разговор на экзамене по матану.
Преподаватель:
- Что вы будете делать, если я попрошу вас посчитать сумму этого ряда?
Студент:
- Я охуею!
Преподаватель:
- Правильно, он не сходится.
Это к тому, что, например, ряд 1+1/2+1/4+1/8+... при бесконечном количестве членов имеет конкретную сумму 2.
Бесконечное количество математиков заходят в бар. Первый говорит: «Мне пол литра пива, пожалуйста». Второй говорит: «А мне четверть литра». Третий: «Мне одну восьмую». Четвертый: «Мне одну шестнадцатую»...
Бармен: «Не ебите мне мозг, вот вам литр на всех».
Если в эту схему вовлечётся бесконечное количество членов, то каждый получит бесконечное количество денег. Но так бывает только в математике. Если же в пирамиду придёт просто огромное, но конечное количество людей, то заработают они гроши. Да, гармонический ряд расходится (и сумма его всегда растёт), но расходится он крайне медленно. При значительном увеличении числа членов ряда сумма растёт всё медленнее. Немудрено, ведь частичная сумма ряда (сумма первых n членов, так называемое n-ное гармоническое число) асимптотична ln(n) без учёта константы:
Sn = ln(n) + γ + εn ≈ ln(n) + γ,
где постоянная Эйлера γ ≈ 0,577
Как видно выше, множитель в доходе каждого члена клуба равен сумме гармонического ряда с количеством членов равным общем количеству участников минус сумма гармонического ряда с количеством членов, равным числу членов пришедших до него. Доход каждого члена (m - количество участников пирамиды, A - оплата в администрацию, B - остаток взноса, который делится):
Д1 = -A + B*(Sm-S0)
Д2 = -A + B*(Sm-S1)
...
Дn = -A + B*(Sm-Sn-1)
...
Дm = -A + B*(Sm-Sm-1)
В итоге доход n-ного члена пирамиды (кроме первого, конечно, там просто S0=0):
Дn = -A + B((ln(m)+γ+εm)-(ln(n-1)+γ+εn-1))
Для больших номеров и требуемой точности эпсилонами можно пренебречь (εn→0 при n→∞), постоянная Эйлера сокращается, получаем простую элегантную формулу:
Дn ≈ -A + B(ln(m)-ln(n-1))
Вопрос 1. Начиная с какого члена пирамиды они никогда не вернут свои деньги? Очевидно, когда выполнится равенство:
-A + B(ln(m)-ln(n-1)) ≈ A+B
ln(m)-ln(n-1) ≈ (2A+B)/B
ln(n-1) ≈ ln(m) - 2A/B - 1
n-1 ≈ e(ln(m) - 2A/B - 1)
n ≈ e(ln(m) - 2A/B - 1) + 1
В наших условиях A=10, B=90, пусть m=7*109 (всё население Земли)
n ≈ e(ln(7 000 000 000) - 2/9 - 1) + 1 ≈ 2,06*109
Для населения России 143 млн:
n ≈ e(ln(143 000 000) - 2/9 - 1) + 1 ≈ 42 124 201
Примерно после трети участников вступивший никогда не выиграет.
Вопрос 2. Сколько получит первый член пирамиды?
Д1 ≈ -A + B(ln(m)+γ)
Если всё население Земли вступит, то первый член получит:
Д1 ≈ -10$ + 90$⋅(ln(7 000 000 000)+γ) ≈ 2082$
Всё население России:
Д1 ≈ -10$ + 90$⋅(ln(143 000 000)+γ) ≈ 1732$
Всё население Уфы:
Д1 ≈ -10$ + 90$⋅(ln(1 075 000)+γ) ≈ 1292$
Разбогатеть не получится никому, кроме администрации. Всё как и должно быть в этой жизни.