День π и цепные дроби.
Сегодня день π (в американской традиции месяц пишется до числа, поэтому 14-е марта - это 3.14) и традиционно много где проводятся соревнования по количеству знаков запомненного числа π (напомним, что это отношение длины окружности к её диаметру). В школе большинство из нас запомнили приблизительное значение 3.14. Для очень многих инженерных оценок и задач этого более чем достаточно (параметры часто известны с худшей точностью).
Ещё древние китайцы знали дробь 355/113, которая даёт приближение с точностью шесть знаков после десятичной точки (или запятой, по вкусу). Нетрудно запомнить и чуть больше знаков 3.14159265... Но кто-то вам может сказать, что всё равно человек, который запомнил аж 70030 знаков числа π, потратил время не зря, вдруг когда-нибудь кому-нибудь понадобится? Так вот, вместо бездумного запоминания цифр, предлагаю почитать про цепные (они же непрерывные) дроби (в Вики довольно хорошая статья с описанием применений к теории календаря и т.п.). Это способ представления приближения произвольного действительного числа в виде целочисленных дробей. В случае обобщённых цепных дробей π представляется в виде легко запоминающейся последовательности:
Причём сходимость этого представления линейная по числу членов, всем известные три знака получатся уже от первых четырёх членов. Ещё более (если можно так выразиться) бессмысленно запоминать знаки после запятой у корня квадратного из 2 или, скажем, основания натурального логарифма, т.к. они представляются ещё более простыми цепными дробями. Да здравствует математика, а не бессмысленная зубрёжка! 😁