Про теорему Гёделя
Почему теорема Гёделя в физике в принципе не имеет значения - понятно. Физика наука экспериментальная, и даже если мы умудримся формализовать какую-то теорию достаточно для т.Г., и получим в ней невыводимое утверждение, нам просто придётся это утверждение проверить экспериментом.
Но тут вдруг ВНЕЗАПНО выяснилость, что т.Г. вообще не имеет значения в смысле какого-то ограничения познания!
• Если упоминать теорему Геделя, то только в паре с теоремой Генцена. Дело в том, что теорема Геделя утверждает, что непротиворечивость арифметики невозможно доказать определенными средствами. Однако она не говорит, что этого нельзя сделать другими, не менее надежными средствами!!! Доказательство Геделя состояло в том, что он сопоставлял каждой формуле некоторое очень большое натуральное число - геделевский номер. С другой стороны и это почему-то уже гораздо менее известно, в 1936 году Герхард Генцен точно так же доказал непротиворечивость арифметики, сопоставляя каждой формуле некоторое не очень большое счетное ординальное число. Разница между доказательством Геделя и доказательством Генцена не заметна невооруженным глазом. Степень нашей уверенности в справедливости той формы индукции, которой пользовался Генцен. ничуть не меньше, чем в обычных аксиомах арифметики. Разумеется, результат Генцена не приобрел скандальной известности за пределами логического сообщества ровно потому, что он доказывает то, во что все и так верят, непротиворечивость арифметики!
Теорема Геделя занимает такое же место в истории математики, как доказательство невозможности трисекции угла при помощи циркуля и линейки и невозможность решения уравнения пятой степени в радикалах. Это очень почетное место!!! Эти проблемы сыграли огромную роль в историческом развитии математики. Однако они не имеют никакого отношения к ее сегодняшнему состоянию и никаким образом не рассматриваются математиками в качестве ограничений.
• Теорема Геделя есть математическая теорема, которая состоит из контекста(ов?), формулировки(ок?), доказательства(в?), интерпретации(ий?) и т.д. Однако обычная журналистская практика состоит в том, чтобы позиционировать ее не как теорему математики, а как теорему о математике. Но теорема Геделя не говорит ничего о математике. Она говорит нечто о генерации некоторого специального вида текстов в некотором специальном типе формальных систем.
Программа Гильберта носит чисто апологетический характер. Он хотел ограничить те средства, которые используются для обоснования (или, как говорит Феферман, оправдания) математики, до абсолютного минимума, до средств признаваемых как допустимые всеми математиками, включая Брауэра. Сам Гильберт, как совершенно ясно из всех оставленных им текстов, никогда. не стоял на финитистских позициях и полностью разделял обычную математическую интерпретацию канторовского учения с неограниченным признанием актуальной бесконечности. Поэтому смешно называть тезисом Гильберта одиозное утверждение, что нет логики, кроме логики первого порядка. Теорема Геделя представляет собой не крах Гильбертовской программы обоснования математики, как об этом пишут журналисты. Она утверждает лишь, что Гильберту не удалось бы убедить Брауэра.
Н. Вавилов, «Не совсем наивная теория множеств», § 5♠
Но тут вдруг ВНЕЗАПНО выяснилость, что т.Г. вообще не имеет значения в смысле какого-то ограничения познания!
• Если упоминать теорему Геделя, то только в паре с теоремой Генцена. Дело в том, что теорема Геделя утверждает, что непротиворечивость арифметики невозможно доказать определенными средствами. Однако она не говорит, что этого нельзя сделать другими, не менее надежными средствами!!! Доказательство Геделя состояло в том, что он сопоставлял каждой формуле некоторое очень большое натуральное число - геделевский номер. С другой стороны и это почему-то уже гораздо менее известно, в 1936 году Герхард Генцен точно так же доказал непротиворечивость арифметики, сопоставляя каждой формуле некоторое не очень большое счетное ординальное число. Разница между доказательством Геделя и доказательством Генцена не заметна невооруженным глазом. Степень нашей уверенности в справедливости той формы индукции, которой пользовался Генцен. ничуть не меньше, чем в обычных аксиомах арифметики. Разумеется, результат Генцена не приобрел скандальной известности за пределами логического сообщества ровно потому, что он доказывает то, во что все и так верят, непротиворечивость арифметики!
Теорема Геделя занимает такое же место в истории математики, как доказательство невозможности трисекции угла при помощи циркуля и линейки и невозможность решения уравнения пятой степени в радикалах. Это очень почетное место!!! Эти проблемы сыграли огромную роль в историческом развитии математики. Однако они не имеют никакого отношения к ее сегодняшнему состоянию и никаким образом не рассматриваются математиками в качестве ограничений.
• Теорема Геделя есть математическая теорема, которая состоит из контекста(ов?), формулировки(ок?), доказательства(в?), интерпретации(ий?) и т.д. Однако обычная журналистская практика состоит в том, чтобы позиционировать ее не как теорему математики, а как теорему о математике. Но теорема Геделя не говорит ничего о математике. Она говорит нечто о генерации некоторого специального вида текстов в некотором специальном типе формальных систем.
Программа Гильберта носит чисто апологетический характер. Он хотел ограничить те средства, которые используются для обоснования (или, как говорит Феферман, оправдания) математики, до абсолютного минимума, до средств признаваемых как допустимые всеми математиками, включая Брауэра. Сам Гильберт, как совершенно ясно из всех оставленных им текстов, никогда. не стоял на финитистских позициях и полностью разделял обычную математическую интерпретацию канторовского учения с неограниченным признанием актуальной бесконечности. Поэтому смешно называть тезисом Гильберта одиозное утверждение, что нет логики, кроме логики первого порядка. Теорема Геделя представляет собой не крах Гильбертовской программы обоснования математики, как об этом пишут журналисты. Она утверждает лишь, что Гильберту не удалось бы убедить Брауэра.
Н. Вавилов, «Не совсем наивная теория множеств», § 5♠