Комплексные числа как интеллектуальная заглушка?
Я уверен, что мне за этот постинг достанется от профессиональных математиков, но, тем не менее, я его запощу (не спрашивайте, каким образом я заинтересовался этой темой - так получилось).
Одним из применений комплексных чисел в математике является объяснение того, почему не сходятся ряды Тейлора некоторых некомплексных функций. В качестве примера в одном из видео Coursera рассматривается функция y=1/1+X^2. Радиус круга сходимости ряда Тейлора с центром в точке Х=0 у этой функции равен 1 (что означает, что такой ряд аппроксимирует эту функцию только в интервале X от -1 до 1). При этом в отличие от функции y=1/1-X^2, которая также имеет радиус сходимости ряда Тейлора с центром в точке Х=0 равный 1, функция y=1/1+X^2 в декартовой системе координат везде определена (функция y=1/1-X^2 не определена в точках X=1 и X=-1).
Отсюда, по идее, должен следовать вывод, что функция y=1/1+X^2 плохо аппроксимируется рядом Тэйлора по какой-то иной причине, нежели функция y=1/1-X^2, но вместо этого почему-то делается вывод, что первая функция должна быть в каких-то точках не определена. Дальше задается вопрос, в каких же точках она не определена и выясняется, что она не определена в точках Х=i и X=-i (i=√-1).
Проблема этого рассуждения состоит в том, что оно (по крайней мере, в том виде, в котором оно приводится в лекции) является примером ошибки begging the question. Из того, что можно придумать вымышленные значения i и -i, в которых функция не определена, не следует, что она плохо аппроксимируется рядом Тейлора именно потому, что она не определена в точках с этими вымышленными значениями X.
Чтобы показать всю абсурдность приведенного выше рассуждения, возьмем похожее по структуре рассуждение не из математики. До 1865 г. афроамериканцы в южных штатах были в среднем намного беднее белых, потому что они были рабами. Сегодня афроамериканцы в южных штатах в среднем опять же намного беднее белых. Можно ли выдумать неких субъектов, чьими рабами они сейчас являются? Конечно. Пусть это будут рептилии с планеты Нибиру. Ergo, афроамериканцы сегодня в среднем существенно беднее белых, потому что они рабы рептилий с планеты Нибиру.
В связи с этим, у меня возникает вопрос: есть ли какое-то рассуждение, которое доказывает, что причиной плохой аппроксимации функции рядом Тэйлора обязательно должна являться ее не-определенность в каких-то точках? Если ответ на этот вопрос является отрицательным, это демонстрирует интересную вещь: что вымышленное число i является своего рода интеллектуальной заглушкой.
Одним из применений комплексных чисел в математике является объяснение того, почему не сходятся ряды Тейлора некоторых некомплексных функций. В качестве примера в одном из видео Coursera рассматривается функция y=1/1+X^2. Радиус круга сходимости ряда Тейлора с центром в точке Х=0 у этой функции равен 1 (что означает, что такой ряд аппроксимирует эту функцию только в интервале X от -1 до 1). При этом в отличие от функции y=1/1-X^2, которая также имеет радиус сходимости ряда Тейлора с центром в точке Х=0 равный 1, функция y=1/1+X^2 в декартовой системе координат везде определена (функция y=1/1-X^2 не определена в точках X=1 и X=-1).
Отсюда, по идее, должен следовать вывод, что функция y=1/1+X^2 плохо аппроксимируется рядом Тэйлора по какой-то иной причине, нежели функция y=1/1-X^2, но вместо этого почему-то делается вывод, что первая функция должна быть в каких-то точках не определена. Дальше задается вопрос, в каких же точках она не определена и выясняется, что она не определена в точках Х=i и X=-i (i=√-1).
Проблема этого рассуждения состоит в том, что оно (по крайней мере, в том виде, в котором оно приводится в лекции) является примером ошибки begging the question. Из того, что можно придумать вымышленные значения i и -i, в которых функция не определена, не следует, что она плохо аппроксимируется рядом Тейлора именно потому, что она не определена в точках с этими вымышленными значениями X.
Чтобы показать всю абсурдность приведенного выше рассуждения, возьмем похожее по структуре рассуждение не из математики. До 1865 г. афроамериканцы в южных штатах были в среднем намного беднее белых, потому что они были рабами. Сегодня афроамериканцы в южных штатах в среднем опять же намного беднее белых. Можно ли выдумать неких субъектов, чьими рабами они сейчас являются? Конечно. Пусть это будут рептилии с планеты Нибиру. Ergo, афроамериканцы сегодня в среднем существенно беднее белых, потому что они рабы рептилий с планеты Нибиру.
В связи с этим, у меня возникает вопрос: есть ли какое-то рассуждение, которое доказывает, что причиной плохой аппроксимации функции рядом Тэйлора обязательно должна являться ее не-определенность в каких-то точках? Если ответ на этот вопрос является отрицательным, это демонстрирует интересную вещь: что вымышленное число i является своего рода интеллектуальной заглушкой.