Эдуард Френкель, “Любовь и математика”
Обнаружил любопытную серию книг New Science издательства Питер вместе с фондом Династия. Прочитал одну из серии - Эдуард Френкель, «Любовь и математика. Сердце скрытой реальности».
Перевод довольно свежей книги 2013 года (Эдуард родился в Коломне, но вынужден был уехать из СССР, сначала работал в Гарварде, а сейчас работает в Калифорнийском университете в Беркли, так что книга сначала вышла на английском).
Книга про жизненный путь Эдуарда Френкеля и современную математику, в первую очередь программу Ленглендса - программу великого объединения в математике.
“Эта увлекательнейшая теория сплетает паутину глубоких связей между областями математики, которые, казалось бы, должны находиться на расстоянии световых лет друг от друга: алгеброй, геометрией, теорией чисел, анализом и квантовой физикой.
Программа Ленглендса была инициирована в конце 1960-х годов Робертом Ленглендсом - математиком, который в настоящее время занимает кабинет Альберта Эйнштейна в Институте высших исследований в Принстоне. В корне этой программы лежит теория симметрий. При этом основы её были заложены два столетия назад вундеркиндом французом незадолго до того, как в возрасте двадцати лет он был убит на дуэли. Впоследствии она была обогащена другим поразительным открытием, которое не только позволило сформулировать доказательство Великой теоремы Ферма, но и революционизировало наши предстваления о числах и уравнениях. И ещё одна проницательная догадка продемонстрировала, что в математике существует собственный розеттский камень, полный загадочных аналогий и метафор. Следуя этим аналогиям как ручьям, текущим в зачарованной стране Математике, идеи программы Ленглендса переселились в сферы геометрии и квантовой физики, создавая порядок и гармонию из, казалось бы, не поддающегося приручению хаоса.”
Книга для неподготовленного читателя, теория групп и теория симметрий по ходу дела объясняются на пальцах. В книге дан взгляд на современное состояние математики (а это сильно отличается от того, что и как рассказывается в школе). Есть много исторических экскурсов, например, как идеи из теории групп натолкнули на мысли о существовании кварков, отталкиваясь исключительно от математических моделей симметрий. По ходу дела узнаете, что стоит за названиями SO(2), SO(3), SU(2), SU(3), которые вы уже, возможно, встречали, что такое группы и алгебры Ли. Кажется, лишь в этой книжке мне впервые встретилось человеческое описание того, как стоит подступаться к теории Галуа.
Кроме собственно математики, эта книга - про путь одного конкретного человека со школьных лет. На мой взгляд, хорошая иллюстрация того, что если [по описанию вполне обычного] человека заинтересует какая-то область, то он может продвинуться в ней безумно далеко, и очень многое зависит от наших учителей и тех людей, кого нам довелось встретить на пути. Заметная часть книги посвящена описанию жизни математиков в Союзе, семинарам Гельфанда, дискриминации евреев при поступлении на Мехмат МГУ. Полезно знать, как оно было ещё совсем недавно.
Ещё немножко интересных цитат:
“Одна из самых поразительных черт Ленглендса - его умение бегло разговаривать на многих языках: английском, французском, немецком, русском и турецком. И это несмотря на то, что до поступления в университет он не говорил ни на одном другом языке, кроме своего родного, английского. ... Не так давно у меня была возможность поработать в тесном сотрудничестве с Ленглендсом, и мы часто переписывались по-русски. Однажды он прислал мне список русских писателей, произведения которых читал на языке оригинала. Список этот настолько обширен, что я совершенно не удивился бы, узнав, что Ленглендс прочитал больше русской литературы, чем я, родившийся в России. Я частенько задумывался, не связана ли уникальная способность Ленглендса к изучению иностранных языков с его умением сводить воедино разнообразные математические культуры.”
“Таким образом, язык категорий позволяет нам отвлечься от вопроса, что такое эти объекты и из чего они состоят, а вместо этого сфокусироваться на том, как они взаимодействуют друг с другом. Именно поэтому математическая теория категорий оказывается особенно удобной для использования в информатике и программировании. Развитие функциональных языков программирования, таких как Haskell, - один из множества примеров современных приложений теории категорий. Я почти не сомневаюсь, что следующее поколение компьютеров составят машины, базирующиеся не на теории множеств, а на теории категорий, а сами категории мало-помалу станут частью нашей повседневной жизни.”
“Вот уже многие сотни лет математики занимаются изучением функций - одного из центральных понятий всей математической науки. Эту концепцию можно понять интуитивно, достаточно вспомнить температуру или атмосферное давление. Однако что до Гротендика было совсем неочевидно - так это то, что, находясь в контексте многообразий над конечными полями (таких, как кривые над конечным полем), мы можем сделать шаг вперёд и вместо функций начать работать с пучками. Функции были, если можно так выразиться, концепциями архаичной математики, а пучки - это концепции современной математики. Гротендик продемонстрировал, что во многих отношениях пучки - объекты куда более фундаментальные, чем функции. Старые добрые функции - всего лишь их бледные тени.”
“Подобным же образом, поскольку двойственная группа Ленглендса присутствует как в математике, так и в физике, естественно предполагать существование связи между программой Ленглендса в математике и электромагнитным дуализмом в физике. Однако прошло почти тридцать лет, а никому так и не удалось её обнаружить.”
“Ясно одно: партитура окончательной симфонии будет написана на языке математики. Действительно, после того как Янг и Миллс опубликовали свою знаменитую статью, представляющую неабелевы калибровочные теории, физики, к своему удивлению, осознали, что математический инструментарий, необходимый для их теорий, был разработан математиками ещё несколько десятилетий назад без всякой оглядки на физику.”
“Математические истины существуют объективно и не зависят ни от физического мира, ни от человеческого мозга. Нет никакого сомнения в наличии глубоких связей между миром математических идей, физической реальностью и человеческим сознанием, и мы должны уделить их исследованию самое пристальное внимание.”