Интервью с Н.Н. Константиновым

[bravchick]

http://elementy.ru/lib/431023

Правда, ничего интересного, кроме нескольких олимпиадных задач я там не нашел. Из тех задач, которых я не знал, больше всего понравилась такая:
Каждый из N пассажиров купил по билету на N-местный самолет. Первой зашла сумасшедшая старушка и села на случайное место. Далее, каждый вновь вошедший занимает свое место,

Comments

[sowa]

До задачки еще не дочитал, но заметил, что у меня к ней отношение такое же, как когда-то было у Константинова:

"Наверное, потому, что математика казалась мне тогда несерьезной наукой. На кружках там какие-нибудь зайчики прыгают, красные, зеленые и белые, да еще доказать надо, что красных четное число. Все эти задачи мне казались чем-то игрушечным. Странно этим заниматься."

Наконец узнал источники доминирования анализа в матшколах:

"...в анализе очень мало теоретического материала и очень много упражнений. Фактически, если ты знаешь определение предела, то дальше море задач, и уже нечего читать, кроме как рассказывать решения этих задач. Далеко не все предметы так устроены."

Фишка, конечно, в том, что и анализ так не устроен.

А вот пример великолепного жульничества:

"Вот, например, я хочу доказать, что множество точек отрезка несчетно. Допустим, что оно счетное. Берем отрезок длиной единица, перенумеруем эти точки, и точки покрываем интервалами - первую точку интервалом длиной одна десятая, вторую - одна сотая и так далее.

[bravchick]

Ну да, все, что он рассказал про матшколы и листки я знал. Кстати, листками учили совсем не только анализу. Нас теории групп так учили. И линейной алгебре тоже.

[sowa]

Так и теория групп не так устроена. И линейная алгебра (не говоря о том, что такого предмета просто нет).

[bravchick]

На самом деле я совершенно не понимаю этого рассуждения про то, что как устроено. Система листочков имеет свои педагогические достоинства и недостатки. В принципе, так можно учить любому предмету, но получается очень медленно и в целом неэффективно. Зато создается очень хороший контакт между преподавателем и школьником, а школьника заставляют довольно глубоко все продумывать. Для большинсва школьников это очень важно на начальном этапе. Мне кажется, не так важно, какому предмету так учить. Потому что смысл системы листочков не в том, чтобы научить большому количеству матерьяла, а в том, чтобы привить культуру математического доказательства и, что еще важнее, математического метода разговаривать. Для многих, но не всех, школьников это еще хороший стимул заниматься и хороший способ их заинтересовать.

[sowa]

Рассуждение принадлежит, очевидно, не мне, а Константинову. Так что я не могу быть уверен, что я его правильно понимаю.

Но, мне кажется, он правильно указывает на имеющееся различие между разделами математики, или, скорее между способами их изложения. Один я бы назвал горизонтальным - одно определение, и дальше много-много задач на этом уровне. Отчасти Константинов прав - в анализе накопилось огромное количество задач-результатов на каждом уровне. Классический задачник Пойя-Сегё - тому свидетельство. Другой способ - вертикальный: задач на данном уровне дается минимум, без них можно даже совсем обойтись, и переходят к следующему уровню.

[bravchick]

Мне кажется, тут и кроется непонимание. Для Вас анализ, это серьезная математика на уровне Пойя-Сеге, a Константинов говорит о том, как нучить школьников простой эпсилон-дельта технике и умению отличить строгое рассуждение с эпсилон и дельта от махания руками. Мне кажется, что этому система листков учит очень неплохо. Когда такая основа есть, то дальше более эффективно учиться стандартным образом по книжкам или через лекции.

[sowa]

Нет, ну не настолько же я тупой... :-) Я сказал, что в анализе накопилось огромное количество результатов-задач на *любом* уровне. Пойя-Сегё - это один из уровней и я его привел в качестве очень яркой иллюстрации этого факта. Эпсилон-дельта - это другой уровень. Кстати, интервью не создает четкого впечатления, что Константинов говорит именно об эпсилон-дельта технике, но Вам виднее, конечно.

Мне кажется, что через эпсилон-дельта технику нужно проскочить как можно быстрее, и перейти к содержательным вещам. Мне не попадались интересные задачи на эпсилон дельта технику.

[bravchick]

Тут возможно два подхода. Один проскочить как можно быстрее, учитывая, что большинство школьников/студентов до конца за это время в этом не разберуться. При этом рассчитывать, что со временем они, так сказать задним числом, все поймут. Другой подход: разобраться в базовых вещах основательно, с тем, чтобы потом уже к ним не возбращаться. В московских матшколах доминировал второй подход к матанализу. У нас целый год муссировали эпсилон/дельта. За этот год проходили чуть больше, чем полсеместра мехматовского курса анализа. Зато уже никаких непониманий не оставалось. Для такого подхода система листочков, мне кажется, идеальной. Стандартный университетский курс, это скорее первый подход. Подавляющее большинсво моих одногруппников очень плохо понимали как доказывать с помощью эпсилон/дельта где-то до начала третьего семестра. Я помню, как очень неглупые ребята, готовясь к какому-то зачету во втором семестре, просили меня объяснить, почему если f(x)>0 и f непрерывна, то у x есть окрестность, в которой f положительна. Надо признать, что в

[sowa]

Я бы не выдержал целый год эпсилон-дельта. Не знаю, как в этой системе практически можно реализовать "не выдержал" - можно ли, например, устроить публичный конфликт с преподавателем.

Мое представление такое: обучение должно начинаться с середины (я это уже много раз говорил, прошу прощения за повторение). От середины нужно двигаться в двух направлениях - вперед, к более сложным результатам, и назад, к основаниям предмета. Мне кажется, что, за очень редкими исключениям, основания интересны только тогда, когда уже есть что обосновывать и когда в этом есть реальная потребность. Эпсилон-дельта техника возникла в результате потребности рассуждать о довольно тонких ситуациях (какие функции разлагаются в ряд Фурье, например), а не для формальных выводов утверждений типа "если f(x)>0 и f непрерывна, то у x есть окрестность, в которой f положительна." Разве это нельзя объяснить просто на картинке?

[bravchick]

Конфликта устраивать было не надо. Можно было просто сдавать мало задач. Типа, ну не решил. Такие школьники в любом классе были.

Я не сказал, что весь год были одни эпсилоны и дельты. Просто двигались медлено. За год дошли примерно, до определения производной и ее первых свойств. Это не выглядело занудством (по крайней мере для меня) именно благодаря свойствам обучения по системе листочков. Все мы (или почти все) были любителями разного рода олимпиадных и кружковских задач. Задачи из листочков были для нас challenging, а этого было достаточно. Содержательная часть меня в тот момент не так сильно интересовала. Для меня тогда математика была набором задач.

[sowa]

"Можно было просто сдавать мало задач. Типа, ну не решил."

А 5 бы поставили при таком поведении?

"Содержательная часть меня в тот момент не так сильно интересовала. Для меня тогда математика была набором задач."

Для меня физматшкола была переходным этапом от решения задачек к содержательной математике. Задачами я занимался постольку, поскольку это вело к некоторому статусу и независимости.

[bravchick]

У нас была отдельная оценка по "спецматематике", то есть за листочки. Пять бы не поставили, но и три вряд ли. Для этого надо было бы уж совсем на все забить. Оценка эта сама по себе мало кого волновало. Волновало выперндриться перед студентами-проверяющими и перед одноклассниками, доказать себе и другим, что можешь эти задачи решать. Элемент соревновательности был очень силен.

Во избежании непонимания, должен пояснить: вся эта спецматематика организовывалась группой студентов, курирующих этот класс. (Иногда главный из них был студентом, иногда человеком чуть-чуть постарше. ) Разные студенты-кураторы организовывали процесс по-разному, хотя практически все использовали систему листочков и обучения через задачи. Я рассказываю, как это было у нас. Выше ppetya привел ссылку а листочки в их классе. Судя по всему у них двигались гораздо быстрее и преподавали более содержательные вещи. Наверное, это значит, что основаниям уделялось значительно меньше времени.

[sowa]

Более-менее понятно. Я не собирался еще раз спорить с этой системой - я это уже не раз делал. Просто интервью указывает на то, что, скорее всего случайные, представления одного человека оказали огромное влияние, и теперь уже многим кажется, что без этого не обойтись.

По части выпендрежа в мое время жизнь была куда как легче. Время от времени внимание части класса привлекала какая-нибудь задачка (не больше чем на несколько дней). Оказавшись два-три раза единственным решившим такую задачку, я больше не особенно заботился о престиже.

[bravchick]

PS. Система обучения с середины мне очень нравится, хотя, наверное, она подходит не всем. Но мне она нравится для людей, уже имеющих некоторую минимальную математическую культуру. Умеющих отличить доказательсво от махания руками, например. Не боящихся, если надо, записатьзанудное рассуждение, типа доказательство через эпсилон/дельта. Опять же не для всех, но для многих, лучше сначала получить эту культуру, а уж потом учитъ серьезные вещи с середины. Беда в том, что это базовое обучение часто бывает неприятным. Листочки делали это скорее развлечением: решение задач, соревнование с одноклассниками, подробные обсуждения со студентами, которые принимали задачи и которых мы очень любили и уважали.

[sowa]

Так ведь и отличать доказательство от махания руками можно/нужно учиться с середины. Объясняя, почему некоторое рассуждение - не доказательство. Приводить контрпримеры, объяснять, что в другой ситуации рассуждение ведет к явно неверному результату. Аксиоматика геометрии, близкая к гильбертовой, для этого подходит, например - после того, как уже разобраны интересные геометрические задачи.

[akor168]

Так ведь и отличать доказательство от махания руками можно/нужно учиться с середины. Объясняя, почему некоторое рассуждение - не доказательство. Приводить контрпримеры, объяснять, что в другой ситуации рассуждение ведет к явно неверному результату

Кстати, да. Но к сожалению общение с первокурсниками математических факультетов России (среди которых большинство случайные люди) приводит к схоластическому подходу: если в определение "окружности" (геометрическое место точек находящихся на одинаковом положительном расстоянии от данной) пропущено "положительном", это повод, чтобы поставить двойку/отправить на пересдачу. То есть нет культуры продумывания действительно содержательных контрпримеров.