Чем является график функции на самом деле или "Как дурачат людей?"
(Посмотрите на этот баннер. На осях изображены переменные, значения которых не зависят друг от друга. Где тут функция?!)
Какова связь функции с ее графиком? Это четвертая статья в теме, начатой с фразы: "Функция - это ее график".
В первой статье я показал источник появления этой фразы.
Во второй статье мы рассмотрели два определения понятия: "функция".
Одно определение было дано Леонардом Эйлером и позиционировалось как набор различных математических операций над переменной, изображенных в аналитическом виде (набор значков и символов в виде формулы).
Второе определение дано в виде попарного набора параметров, локализованных в виде схематичного изображения двух множеств со стрелочкой между ними.
В третьей статье я показал, что определение, данное Эйлером - есть описание математического объекта, который позволяет осуществлять все возможные математические действия, включая действия дифференцирования и интегрирования.
Определение, данное в рамках топологии, не позволяет совершать действия, рассматриваемые матанализом ввиду того, что в этом определении переменные заменены на параметры. А матанализ как раз рассматривает именно действия над переменными. Определение Эйлера позволяет рассматривать параметр как частный случай переменной в действиях дифференцирования и интегрирования.
В этой статье я покажу связь понятия "функция", данное Леонардом Эйлером, с понятием "график функции".
Обращаю ваше внимание на то, что эта статья - не часть учебника, поэтому все показано схематично.
Итак, ключевой момент! Используя определение функции по Эйлеру, как аналитическое выражение с переменной, вы всегда сможете, при необходимости, получить два набора параметров в виде двух мысленных пространственных локаций с набором элементов в виде точек, кружочков, крестиков, буквочек с индексами и т. д., обозначающих неопределенные значения переменной или часть этих значений, называя эти локации множествами или как-то еще и обозначая как угодно, хоть буквами алфавита, хоть значками. Вы можете назвать эти локации областью определения функции и областью ее значений, конкретизируя названия стрелочкой, называя отображением и ставя около стрелочки значок функции... Но! Вы, в этом случае, заменяете переменную набором параметров и лишаетесь символьного алгоритма функции в виде аналитического выражения.
Мало того...
Используя Эйлеровское определение функции вы получаете алгоритм связи понятия "функции" с понятием "график функции". Используя топологическое определение функции через отображение множеств вы теряете этот алгоритм. Потому, что этот алгоритм основан на понятии переменной!
Показываю этот алгоритм. Схематично, так как этот блог не учебник...
Следите внимательно за моими рассуждениями. Вы нигде в мире не найдете этой информации. Она скрыта от широкой общественности.
Показываю "на пальцах". Функция, по Леонарду Эйлеру, - есть набор переменной, постоянных и математических действий записанных в аналитическом виде (в виде формул).
Если вы в этом наборе математических символов и значков выделите действие УМНОЖЕНИЯ, то с помощью одного "волшебного" преобразования, вы сможете этот набор превратить в СУММУ! Это волшебное преобразование возможно только при использовании понятия "ПЕРЕМЕННАЯ"!
Это волшебное преобразование завуалировано названием "формула интегрирования по частям". В общем виде она выглядит так:
Это универсальная формула для преобразования произведения зависимых переменных в сумму. Вы можете, с ее помощью, разделить одну функцию на две!
Причем, варьируя сомножители Вы можете получать сумму различных функций!
Показываю действие формулы на двух примерах.
Будем параллельно рассматривать две функции: z = x2 и w = x3.
Будем, также, рассматривать геометрические и топологические подстановки для получения визуализации преобразований. В результате увидим как именно из аналитического выражения функции получется линия, которую ботаники называют "график функции", а самые брутальные из них обзывают функцию ее графиком... ))))
Применяем формулу интегрирования по частям к двум, взятым для примера, функциям:
Итак, применив преобразование, которое возможно только для функций, составленных по определению Леонарда Эйлера, получаем вместо двух пар переменных две тройки переменных (!):
Я пойду против математической строгости, которая запрещает в одной локации обозначать двумя одинаковыми буквами различные переменные, но такой бардак установили, пришедшие в математику ботаники, поэтому так будет нагляднее:
z(y,x) = y(x) * x = x * x = 1/2x2 + 1/2x2, y(x) = x.
w(y,x) = y(x) * x = x2 * x = 1/3x3 + 2/3x3, y(x) = x2.
Это преобразование невозможно сделать по топологическому определению функции через отображение одного множества в другое так как в этом определении переменные заменены набором параметров.
Вообще-то, формула интегрирования по частям - есть частный случай более общей формулы. Я опубликовал эту общую формулу в интернете лет 20 назад на англоязычных сайтах так, что, как и другие мои публикации в интернете, она может уже гулять по просторам.
[кликнуть для просмотра]
1. Леонард Эйлер постулировал математический объект: "ФУНКЦИЯ ПЕРЕМЕННОЙ" - как набор переменной (величины, изменяющей свое значение), параметров (постоянных, но неопределенных величин) и констант (постоянных величин в виде чисел), соединенных в одно аналитическое выражение (формулу) при помощи различных математических действий. Это же выражение, но без переменной, принятой к обозначению в виде буквы латинского алфавита, и называемой "аргументом функции", то есть независимой перменной (переменной принимающей любые произвольные значения), я бы определил словом "функционал".
2. "ФУНКЦИЯ ПЕРЕМЕННОЙ" - тоже является переменной величиной и обозначается другой буквой латинского алфавита.
3. На основе этих двух переменных было позиционировано понятие отображения одного множества в другое в виде двух, связанных между собой попарно, наборов параметров (значений переменных), постулированных как "область определения функции" и "область допустимых значений функции".
4. Функционал: правило, по которому значения двух переменные ставятся в однозначное соответствие друг другу, и два набора параметров были позионированы как "ФУНКЦИЯ":
5. Действие дифференцирования в математике позволяет получать из одной функции другую.
Например:
Еще раз: алгоритм отыскания производной (действие дифференцирования) позволяет получить из одной функции другую!:
Смотрим современное определение производной функции, полученной в результате действия дифференцирования:
Такое впечатление, что вначале математика создавалась МАТЕМАТИКАМИ, а потом в нее пришли БОТАНИКИ...
Попробуйте совместить друг с другом два современных определения, очерченных мною в двух рамках. Ваш мозг не получит интеллектуальную травму, не совместимую со здравым рассудком?!
Почему это так? Потому, что современные математики, употребляя слово "функция" представляют себе линию, называемую "графиком функции"!
Вот тут подходим к ключевому моменту...
Посмотрите на два определения функции. На аналитическое определение на основе переменной и топологическое определение на основе отображения множеств. Посмотрели? А теперь задайте себе вопрос: "ОТКУДА, ВДРУГ, ПОЯВИЛСЯ УГОЛ В ДЕВЯНОСТО ГРАДУСОВ?!"
В чем состоит смысловой переход от определений функции к прямому углу, без которого не было бы графика функции? Потом задайте себе еще один вопрос: "ГДЕ В ОПРЕДЕЛЕНИЯХ ФУНКЦИИ ОПРЕДЕЛЕНО ПОНЯТИЕ "ТОЧКИ"?"
Продолжение следует.