Школьная математика - понятно и непонятно
Объяснить человеку что-то новое - сложно. Если есть какие-то примеры и аналогии - проще, если нет - то увы. Всем (наверное) известен Колмогоров - грандиозный математик, математище! Так вот, он написал кучку учебников, в том числе и для начальной школы. Однако, не все эти учбеники одобряют. Сложноваты. Кроме того, пробовал он писать и арифметику для самых начальных классов... со всей строгостью аксиоматики теории множеств и групп. Учебник этот, разумеется, в серию не пошел. Оно понятно, что строгость нужна: без строгости вся математика разваливается, но, с другой стороны, дитю еще и понять написанное надо. Да что там дитю, вот признайтесь честно, кто в ВУЗе сразу привык к определениям в стиле Коши? Строгие математические определения, обычно, работают наоборот: сначала ты понимаешь тему, а потом понимаешь, что, собственно, в определении-то сказано. Ну, так оно, на самом деле и развивалось. Сначала находят какую-то интересную ерундовину, которую все посвященные более-менее понимают, а потом придумывают ей строгое определение, чтоб все красиво и четко было. Вот только при обучении, обычно, дают в обратном порядке - сначала определение, а потом - к чему это все было написано.
Но, рано или поздно, переход к абстракциям делать надо. И вот тут-то и случается тупик. Классический пример - дроби. Количество выпускников школ, не умеющих складывать/умножать дроби зашкаливает. А вот простые (в смысле «обычные» - целые) числа легко перемножают, складывают... ну, более менее. По крайней мере идею понимают. Почему так?
Потому что натуральные числа даются по принципу аналогий, без строгих определений. Никаких Пеано и иже с ними. Было у тебя две монетки, дали тебе еще две - сколько стало? Так же с палочками, деревьями, машинами итд. Но с деньгами лучше. Не потому, что меркантильные, нет. Потому что деньги - уже сами по себе абстракция. Палочки, вещь хорошая, но их количество точно должно соответствовать числам. А с денежками уже не обязательно: на одной купюре написано 100, на другой 250. Бумажки две, но значения - разные. Абстракция, хоть и простенькая.
Целые числа (натуральные с отрицательными) тоже детвора просто понимает. Это как «сколько у тебя есть» и «сколько ты кому-то должен». Нуль вообще проблем не вызывает. А дроби?
А вот тут-то и случается затык. Если общую идею самой дроби дать можно (поделили тортик на несколько частей), то их арифметика - уже загадка. Потому что, как складывать часть тортика, поделенного на 5 частей с частью тортика поделенного на 9 частей - уже не понятно. Собственно, тут начинается и абстракция. Как там дробь дается? Рациональному числу мы сопоставляем два числа: целое n и натуральное m итд итп. Все. Кончились примеры из жизни. И, повторюсь, если саму концепцию дроби схватить легко, то идею операций с ним - уже не очень. Единственный способ - зубрить правила. А детвора не любит зубрить. Никто не любит зубрить - память, она не резиновая. Вот на этом шаге, при переходе к чистой абстракции (некий набор штуковин, называемых рациональными числами, и некий набор правил операций с ними), все и обламывается. И остаются те, кто «въехал», и те, кто «не въехал».
Какой выход? А не знаю. Я не педагог. Да и будь им - вряд ли нашел бы легкое решение. В этом деле, что-то мне подсказывает, легких решений не бывает.
И ведь, что самое обидное, школьники считают, что математика - скучная. А самое забавное в этом - что они правы. Потому что и профессиональные математики считают, что школьная математика скучная. Все примитивные задачи, вроде сложений/умножений выполняют компьютеры, ибо и быстрее, и шансов ошибиться меньше. Даже дифференцирование/интегрирование и тому подобные штуки легко решаются программами символьных вычислений (ну, не всегда легко... зависит). И это правильно. Математику надо идею двигать, а не заниматься типовыми расчетами изо дня на день. Самое интересное в математике начинается после школы, но до этого надо умудриться не приобрести отвращение к ней.
Но, с другой стороны, вариантов нет. Это база. Нудная, скучная, но база (база - она всегда нудная). Без нее никуда. Вот и зазубривают школьники таблицы умножения, синусы-косинусы по четвертям круга, таблицы производных и прочие куски информации, которые пока что фиговенько складываются в общую картину. А что делать? Жизнь - боль.