О точках Лагранжа L4 и L5
Пусть в какой-то области космоса имеются три шарика разных масс, других объектов поблизости нет. Пусть шарики притягиваются друг к другу из-за гравитационного взаимодействия.
Если расположить шарики в вершинах равностороннего треугольника и закрутить всю эту конструкцию с подходящей угловой скоростью вокруг общего центра масс (в плоскости треугольника) , то такая конструкция сможет вращаться, сохраняя изначальную форму.
К сожалению, в общем случае равновесие неустойчиво, но мы сейчас вопрос устойчивости рассматривать не будем.
В интернет выложено доказательство для случая, когда масса третьего шарика пренебрежимо мала.
английская Википедия https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_point
русская Википедия https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B0
Недавно беседовал на эту тему, и в разговоре зашла речь об общем случае - пусть все шарики имеют существенную массу.
Доказательство оказалось настолько простым, что мне проще его написать, чем искать в интернете.
План доказательства картинками.
Примечание. Картинки залиты на встроенный в LJ хостинг LJplus.ru Так как картинки могут не отображаться, я переписал этот post c другим фотохостингом https://biglebowsky.livejournal.com/131492.html.
Рисунок 1.
Равносторонний треугольник с вершинами "1", "2", "3" и длиной стороны r.
В вершинах шарики с разными массами, центр масс системы обозначен как "O".
Рисунок 2.
Мне удобно работать с векторами, соединяющими центр масс системы и шарики.
Вообще-то, такие вектора принято рисовать от центра масс к шарикам.
Рисунок 3.
Однако, именно в этой задачке мне удобнее нарисовать вектора наоборот - от шариков к центру масс.
Рисунок 4.
Будем работать в инерциальной системе отсчета.
Нарисуем на этой картинке вектора ускорения свободного падения в точках 1,2 и 3.
Утверждается, что, если правильно выберем масштаб, то эти 3 вектора сойдутся в точке "O".
Картинка будет копией (3).
Рисунок 5.
Мы по-прежнему в инерциальной системе отсчета.
Нарисуем на этой картинке вектора центростремительного ускорения в точках 1,2 и 3.
Утверждается, что, если правильно выберем скорость вращения, то эти 3 вектора сойдутся в точке "O".
Картинка будет копией (3).
Совпадение векторов в (4) и (5) является доказательством равновесия.
Теперь - доказательство.
Вообще-то, доказательство можно сделать очень коротким: приравнять вектора ускорения свободного падения векторам центростремительного ускорения, все лишнее посокращать и показать, что при подходящей скорости вращения равенство будет истинным.
Однако, тогда пропадет наглядность. Сделаем именно так, как на картинках.
Добьемся того, чтобы все интересующие нас вектора попали именно в центр масс.
План доказательства.
Пусть в вершинах "1","2","3" равностороннего треугольника расположены шарики с массами m1, m2, m3; точка О - центр масс.
Работаем в инерциальной системе отсчета.
Нарисуем на картинке эти шарики, центр масс О и рассмотрим, например, "жизнь" шарика 3.
Обозначим вектор ускорения свободного падения в точке "3" как g3.
На одной картинке у нас нарисованы и длины, и ускорение - то есть, чтобы изобразить ускорение, нам потребуется такая штука, как масштаб S (scale).
Лемма 1. Существует такой масштаб S, что вектор g3, стартовавший из точки "3", попадает в точности в точку O (удачно получится и с длиной, и с направлением). И в формулу для этого масштаба все шарики войдут равноправно.
Продолжим процесс. Вторым шагом нам нужно нарисовать центростремительное ускорение a3. Масштаб уже выбран на предыдущем шаге. Осталось выбрать угловую скорость вращения ω.
Лемма 2. Существует такая ω, что вектор a3, стартовавший из точки "3", попадает в точности в точку O (удачно получилось и с длиной, и с направлением). И в формулу для ω все шарики войдут равноправно.
На этом доказательство и будет завершено: g3=a3, и это будет выполнено аналогичным образом и для других шариков.
Доказательство леммы 1.
Обозначение длин
длина стороны треугольника r
вектор из точки "3" в "1" обозначим как r1
вектор из точки "3" в "2" обозначим как r2
вектор из точки "3" в О обозначим как R3
Тогда
R3 = (m1 * r1 + m2 * r2) / (m1 + m2 + m3)
Пусть G - гравитационная постоянная. Напомню, чтобы нарисовать вектор ускорения, нам еще потребуется масштаб S.
Тогда
g3 = S * (G/r3) * (m1 * r1 + m2 * r2)
Если выбираем S = r3 / (G * (m1 + m2 + m3)), то
g3 = R3
Доказательство леммы 2.
С учетом масштаба S
a3 = S * ω2 * R3
Если выбираем ω=1/квадратный_корень(S), то
a3 = R3
Если расположить шарики в вершинах равностороннего треугольника и закрутить всю эту конструкцию с подходящей угловой скоростью вокруг общего центра масс (в плоскости треугольника) , то такая конструкция сможет вращаться, сохраняя изначальную форму.
К сожалению, в общем случае равновесие неустойчиво, но мы сейчас вопрос устойчивости рассматривать не будем.
В интернет выложено доказательство для случая, когда масса третьего шарика пренебрежимо мала.
английская Википедия https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_point
русская Википедия https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B0
Недавно беседовал на эту тему, и в разговоре зашла речь об общем случае - пусть все шарики имеют существенную массу.
Доказательство оказалось настолько простым, что мне проще его написать, чем искать в интернете.
План доказательства картинками.
Примечание. Картинки залиты на встроенный в LJ хостинг LJplus.ru Так как картинки могут не отображаться, я переписал этот post c другим фотохостингом https://biglebowsky.livejournal.com/131492.html.
Рисунок 1.
Равносторонний треугольник с вершинами "1", "2", "3" и длиной стороны r.
В вершинах шарики с разными массами, центр масс системы обозначен как "O".
Рисунок 2.
Мне удобно работать с векторами, соединяющими центр масс системы и шарики.
Вообще-то, такие вектора принято рисовать от центра масс к шарикам.
Рисунок 3.
Однако, именно в этой задачке мне удобнее нарисовать вектора наоборот - от шариков к центру масс.
Рисунок 4.
Будем работать в инерциальной системе отсчета.
Нарисуем на этой картинке вектора ускорения свободного падения в точках 1,2 и 3.
Утверждается, что, если правильно выберем масштаб, то эти 3 вектора сойдутся в точке "O".
Картинка будет копией (3).
Рисунок 5.
Мы по-прежнему в инерциальной системе отсчета.
Нарисуем на этой картинке вектора центростремительного ускорения в точках 1,2 и 3.
Утверждается, что, если правильно выберем скорость вращения, то эти 3 вектора сойдутся в точке "O".
Картинка будет копией (3).
Совпадение векторов в (4) и (5) является доказательством равновесия.
Теперь - доказательство.
Вообще-то, доказательство можно сделать очень коротким: приравнять вектора ускорения свободного падения векторам центростремительного ускорения, все лишнее посокращать и показать, что при подходящей скорости вращения равенство будет истинным.
Однако, тогда пропадет наглядность. Сделаем именно так, как на картинках.
Добьемся того, чтобы все интересующие нас вектора попали именно в центр масс.
План доказательства.
Пусть в вершинах "1","2","3" равностороннего треугольника расположены шарики с массами m1, m2, m3; точка О - центр масс.
Работаем в инерциальной системе отсчета.
Нарисуем на картинке эти шарики, центр масс О и рассмотрим, например, "жизнь" шарика 3.
Обозначим вектор ускорения свободного падения в точке "3" как g3.
На одной картинке у нас нарисованы и длины, и ускорение - то есть, чтобы изобразить ускорение, нам потребуется такая штука, как масштаб S (scale).
Лемма 1. Существует такой масштаб S, что вектор g3, стартовавший из точки "3", попадает в точности в точку O (удачно получится и с длиной, и с направлением). И в формулу для этого масштаба все шарики войдут равноправно.
Продолжим процесс. Вторым шагом нам нужно нарисовать центростремительное ускорение a3. Масштаб уже выбран на предыдущем шаге. Осталось выбрать угловую скорость вращения ω.
Лемма 2. Существует такая ω, что вектор a3, стартовавший из точки "3", попадает в точности в точку O (удачно получилось и с длиной, и с направлением). И в формулу для ω все шарики войдут равноправно.
На этом доказательство и будет завершено: g3=a3, и это будет выполнено аналогичным образом и для других шариков.
Доказательство леммы 1.
Обозначение длин
длина стороны треугольника r
вектор из точки "3" в "1" обозначим как r1
вектор из точки "3" в "2" обозначим как r2
вектор из точки "3" в О обозначим как R3
Тогда
R3 = (m1 * r1 + m2 * r2) / (m1 + m2 + m3)
Пусть G - гравитационная постоянная. Напомню, чтобы нарисовать вектор ускорения, нам еще потребуется масштаб S.
Тогда
g3 = S * (G/r3) * (m1 * r1 + m2 * r2)
Если выбираем S = r3 / (G * (m1 + m2 + m3)), то
g3 = R3
Доказательство леммы 2.
С учетом масштаба S
a3 = S * ω2 * R3
Если выбираем ω=1/квадратный_корень(S), то
a3 = R3