Школьная задачка - "во многия знания многия скорби".
Преподавательское
Случайно попалась мне задачка.
Олимпиада им. Дж. К. Максвелла 8 класс, региональный этап, 2015/16 год. http://mathus.ru/olymp/maxwell2016t8.pdf
https://olimpiada.ru/activity/254/tasks/2015?class=8&year=2015
http://tasks.olimpiada.ru/upload/files/tasks/254/2015/254-ans-phys-8-teor-reg-15-6.pdf
"Задача 2. Куб из однородного материала плавает, погрузившись на глубину h в жидкость. На
какую глубину H в этой же жидкости погрузится куб, имеющий вдвое большую плотность и
вдвое большую длину ребра?"
Сложность задачи (в общем виде), на мой взгляд, существенно превышает школьный уровень чудовищно высокая.
Более простой случай, 2-мерная задачка (плавание квадратика), рассмотрена в
https://biglebowsky.livejournal.com/122249.html
https://biglebowsky.livejournal.com/94265.html
Однако 3-мерный случай (плавание кубика) - несколько сложнее.*, как было сказано выше, чудовищно сложный.**
Впрочем, "во многой мудрости много печали, и умножение познания умножает скорбь (Екк.1:18)".
Автор задачки [Update: М.Ю. Замятнин] на полном серьезе предлагает невероятно простое "решение":
"h = 4H, если h < a/2; иначе большой куб утонет".
Примечания
* Может быть, 3-мерный случай и не особо страшный.
Вдруг нам повезет, и хотя бы "вдоль одной оси" кубик будет плавать параллельно поверхности воды?
Я еще не копался в этом, но какую-то прикидочную оценку сделал.
Вроде бы, наиболее опасный случай - "плотность = 1/2". [Update] Увы, это - не наиболее опасный случай.
Проверим гипотезу: "плотность 1/2, крен 45% градусов, дифферент 0 градусов, все устойчиво".
Крен 45 градусов при нулевом дифференте и плотности 1/2 рассмотрен в 2-D задачке. Получилось устойчивое равновесие по крену.
Проверим устойчивость по дифференту для обсуждаемых параметров (крен 45 градусов, дифферент 0 градусов, плотность 1/2).
a - сторона кубика
Отсчет всех высот от киля.
Центр тяжести K_G = a/SQRT(2)
Центр плавучести K_B = 2/3 * a/SQRT(2)
Момент инерции ватерлинии I = (a^3) * (SQRT(2)*a) / 12
Метацентр K_M = K_B + I / V
Следующая строка не имеет отношения к килю
Метацентрическая высота G_M = K_M - K_G
Имеем:
G_M = 2/3 * a/(SQRT(2)) + a^3 * SQRT(2)*a / (12*0,5*a^3) - a/SQRT(2)
G_M = 0
Получили безразличное равновесие по дифференту. Занятно :-)
** Update.
Не повезло.
Увы, плотность 1/2 - отнюдь не наиболее опасный случай. Меньшие плотности много хуже с точки зрения остойчивости по дифференту - см. комментарий hyperpov.
Я сейчас перепроверил: hyperpov абсолютно прав.
В ситуации "крен 45 градусов, дифферент 0 градусов, 9/32 < плотность < 1/2" наш кубик неустойчив по дифференту. Метацентрическая высота по дифференту отрицательная, причем существенно отрицательная. Пусть h - глубина погружения.
Тогда G_M = (h^2 - (1.5/SQRT(2))*ah + (1/4)*a^2)/(1.5 h)
Числитель дроби - парабола. И минимум этой параболы - как раз в точке с плотностью 9/32. А в точке с плотностью 0,5 одна из ветвей параболы всего лишь достигает нуля. Примечание: в рассматриваемой ситуации плотность=(h/a)^2 .
Напомню, в 2D задаче плотность 9/32 - это переход от устойчивого асимметричного положения по крену к устойчивому симметричному "крен 45 градусов".
Случайно попалась мне задачка.
Олимпиада им. Дж. К. Максвелла 8 класс, региональный этап, 2015/16 год. http://mathus.ru/olymp/maxwell2016t8.pdf
https://olimpiada.ru/activity/254/tasks/2015?class=8&year=2015
http://tasks.olimpiada.ru/upload/files/tasks/254/2015/254-ans-phys-8-teor-reg-15-6.pdf
"Задача 2. Куб из однородного материала плавает, погрузившись на глубину h в жидкость. На
какую глубину H в этой же жидкости погрузится куб, имеющий вдвое большую плотность и
вдвое большую длину ребра?"
Сложность задачи (в общем виде), на мой взгляд, существенно превышает школьный уровень чудовищно высокая.
Более простой случай, 2-мерная задачка (плавание квадратика), рассмотрена в
https://biglebowsky.livejournal.com/122249.html
https://biglebowsky.livejournal.com/94265.html
Однако 3-мерный случай (плавание кубика) - несколько сложнее.*, как было сказано выше, чудовищно сложный.**
Впрочем, "во многой мудрости много печали, и умножение познания умножает скорбь (Екк.1:18)".
Автор задачки [Update: М.Ю. Замятнин] на полном серьезе предлагает невероятно простое "решение":
"h = 4H, если h < a/2; иначе большой куб утонет".
Примечания
* Может быть, 3-мерный случай и не особо страшный.
Вдруг нам повезет, и хотя бы "вдоль одной оси" кубик будет плавать параллельно поверхности воды?
Я еще не копался в этом, но какую-то прикидочную оценку сделал.
Вроде бы, наиболее опасный случай - "плотность = 1/2". [Update] Увы, это - не наиболее опасный случай.
Проверим гипотезу: "плотность 1/2, крен 45% градусов, дифферент 0 градусов, все устойчиво".
Крен 45 градусов при нулевом дифференте и плотности 1/2 рассмотрен в 2-D задачке. Получилось устойчивое равновесие по крену.
Проверим устойчивость по дифференту для обсуждаемых параметров (крен 45 градусов, дифферент 0 градусов, плотность 1/2).
a - сторона кубика
Отсчет всех высот от киля.
Центр тяжести K_G = a/SQRT(2)
Центр плавучести K_B = 2/3 * a/SQRT(2)
Момент инерции ватерлинии I = (a^3) * (SQRT(2)*a) / 12
Метацентр K_M = K_B + I / V
Следующая строка не имеет отношения к килю
Метацентрическая высота G_M = K_M - K_G
Имеем:
G_M = 2/3 * a/(SQRT(2)) + a^3 * SQRT(2)*a / (12*0,5*a^3) - a/SQRT(2)
G_M = 0
Получили безразличное равновесие по дифференту. Занятно :-)
** Update.
Не повезло.
Увы, плотность 1/2 - отнюдь не наиболее опасный случай. Меньшие плотности много хуже с точки зрения остойчивости по дифференту - см. комментарий hyperpov.
Я сейчас перепроверил: hyperpov абсолютно прав.
В ситуации "крен 45 градусов, дифферент 0 градусов, 9/32 < плотность < 1/2" наш кубик неустойчив по дифференту. Метацентрическая высота по дифференту отрицательная, причем существенно отрицательная. Пусть h - глубина погружения.
Тогда G_M = (h^2 - (1.5/SQRT(2))*ah + (1/4)*a^2)/(1.5 h)
Числитель дроби - парабола. И минимум этой параболы - как раз в точке с плотностью 9/32. А в точке с плотностью 0,5 одна из ветвей параболы всего лишь достигает нуля. Примечание: в рассматриваемой ситуации плотность=(h/a)^2 .
Напомню, в 2D задаче плотность 9/32 - это переход от устойчивого асимметричного положения по крену к устойчивому симметричному "крен 45 градусов".