пост скорее всего ни для кого, педагогический
Скорее всего, никого это не заинтересует. Ну вдруг или все, кому надо, и так знают. Но вдруг.
Французская педагогическая математическая школа отличается от русской и англоамериканской довольно сильно. Я об этом упоминал уже. Но я не упоминал, что есть целая глава матанализа 1го курса, которая не имеет соответствия по-русски и по-английски. Лекции две-три уходит, и не меньше трёх семинаров. Мне сначала казалось, что французы неправы, уделяя этому столько времени. А сейчас я думаю, что скорее правы.
Во всех странах рассказывают разложение в ряд Тейлора, о котором говорят довольно поздно на курсе, т.е. когда уже пройдены степенные ряды. Про объект "тейлоровские полиномы" не знаю - нам, скажем, отдельно не говорили. Возможно, они возникают в курсе или главе "приближённые вычисления". Вычислять тейлоровские коэффициенты - чистый кошмар, я ещё не видел человека, который бодро бы написал пятую производную хоть какой-нибудь не самой простой функции.
А французы имеют тему "Développements limités" - название, которое я бодренько перевёл на английский (я анализ читаю по-английски, но французам) как Polynomlial approximations, за полным отсутствием родного термина. Это вот что. Ты сначала составляешь очень короткую библиотечку разложения в окрестности нуля основных функций - exp, sin, cos, ln, (1+x)^a, 1/(1+x) . Её можно легко запомнить, или вычислить коэффициенты по тейлоровской формуле, для этих функций это очень просто. А после этого ты больше ни один коэффициент по формуле f^(n)(a)/n! не вычисляешь. Ты рассматриваешь любую другую функцию как сложную или полученную путём арифметических операций, и вычисляешь коэффициенты при каждой степени x (до желаемого ранга) уровень за уровнем, используя арифметические операции. Это легко и относительно быстро - как правило, несравнимо быстрее, чем считать f^(n)(a)/n!. Такое разложение сразу даёт уравнение касательной в точке, где оно производится, сразу отвечает на вопрос, как расположен график функции относительно этой касательной; и даёт возможность асимптотического анализа на + или - бесконечности путём просто введения переменной z=1/x и проведения вот этого локального анализа в нуле в терминах z, тогда ровно тем же способом получается уравнение асимптоты (если она есть) и так же находится ответ, выше или ниже асимптоты график функции в окрестности бесконечности. Красиво и иногда полезно.
Рекомендую. Науки в этом никакой нет, а педагогика вполне есть.