Хорошая олимпиадная задачка
"Олимпиадная" - значит годящаяся для олимпиады. Откуда она на самом деле, я не знаю.
На плоскости имеется n прямых. Каждая из них пересекает одно и то же число прямых, m. Найти n в зависимости от m. (Найти все решения при данном m).
Комменты скрываются.
Открыл
Решение в моей формулировке (в комментах есть другие формулировки того же):
Назовём p-пучком n параллельных прямых. Пусть у нас будет k пучков размером p_1, ..., p_m. Каждый будет пересекать все другие пучки - k-1 пучок, т.е. в сумме SUM_1^(k-1) p_i прямых, что равно общему числу прямых минус мощность данного пучка.
Чтобы каждая прямая пересекала одинаковое число других, нужно, чтобы вычитаемые p_i были одинаковы, т.е. все пучки одинаковой мощности, назовём её p.
Тогда в такой конфигурации каждая прямая будет пересекать k-1 пучок по p прямых в каждом, т.е. p(k-1) других прямых. (Всего прямых - pk, это и есть искомое n).
У нас задано число пересечений, т.е. m= (k-1) p
Например, возьмём m=90. Тогда возможные факторизации, в которых порядок множителей важен, так как они по-разному интерпретируются: первый - число пучков минус 1, второй - мощность каждого пучка:
1x90, 2х45, 3x30, 9x10, 5x18, а также 45x2, 30x3, 10x9, 18x5, 90х1, что соответствует вариантам:
2 пучка по 90 параллельных прямых 180 прямых
3 пучка по 45 параллельных прямых 135 прямых
4 пучка по 30 параллельных прямых 120 прямых
10 пучков по 10 параллельных прямых 100 пряых
6 пучков по 18 параллельных прямых 108 прямых
46 пучков по 2 параллельных прямых 92 прямых
31 пучок по 3 параллельных прямых 93 прямых
11 пучков по 9 параллельных прямых 99 прямых
19 пучков по 5 параллельных прямых 95 прямых
91 непараллельная прямая 91 прямая
Если число пересечений m - простое, то есть всего два решения: m+1 непараллельных прямых или 2 пучка по m параллельных прямых.
Я впервые вижу такую замечательную связь геометрии и арифметики, где число решений зависит от числа разных факторизаций.
Если спрашивать только про число прямых, а не про конфигурацию, то можно выразить результат как n=m+q, где q - делитель числа m (в число делителей включается и само число m, и 1).