Формула гармонии
Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония, каким-либо математическим расчётам. Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул, но, изучая математику, мы можем открыть некоторые слагаемые прекрасного - золотое сечение. Мы неодинаково относимся к предметам и явлениям окружающей действительности. Беспорядочность, бесформенность, несоразмерность воспринимаются нами как безобразное и производят отталкивающее впечатление. А предметы и явления, которым свойственна мера, целесообразность и гармония воспринимаются как красивое и вызывают чувство восхищения, радости, поднимают настроение.
О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась суть "золотого сечения". Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий -- свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно "золотому сечению". А Аристотель нашел соответствие "золотого сечения" этическому закону.
Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик.
Пифагор
Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.
Уже в Древней Греции изучение сущности красоты, прекрасного, сформировалось в самостоятельную ветвь науки - эстетику, которая у античных философов была неотделима от космологии. Тогда же родилось представление о том, что основой прекрасного является гармония.
Красота и гармония стали важнейшими категориями познания, в определенной степени даже его целью, ибо в конечном итоге художник ищет истину в красоте, а ученый - красоту в истине.
Красота скульптуры, красота храма, красота картины, симфонии, поэмы... Что между ними общего? Разве можно сравнивать красоту храма с красотой ноктюрна? Оказывается можно, если будут найдены единые критерии прекрасного, если будут открыты общие формулы красоты, объединяющие понятие прекрасного самых различных объектов.
ПИФАГОРЕЙСТВО. АКУСТИКА, АРИФМЕТИКА, ГЕОМЕТРИЯ, ФИЗИКА И АСТРОНОМИЯ
Органический синтез указанных здесь наук является основным пифагорейским убеждением и представляет собой замечательное культурное историческое явление. Оно интересно уже тем одним, что основанное на нём мировоззрение строится вовсе не только логически, но является результатом и мощных социально-исторических сил, действующих часто даже вопреки всякой логике.
С именем Гиппаса связываются первые попытки установить числовые отношения тонов при помощи четырёх медных дисков одинакового диаметра и толщиною: первый в 1 1/3=4/3 второго, в 1 1/2=3/2 третьего и вдвое больше четвёртого, то есть для квинты, кварты и октавы, а также при помощи звона, издаваемого сосудами с различными количествами жидкости.
К этим простейшим акустическим наблюдениям, до сих пор не сходящим со страниц наших учебников физики, пифагорейцы применяли свои принципы, исходившие уже не столько из акустики, сколько из общих методов античного мышления, и, прежде всего, они понимали эти количественные отношения не просто количественно, но в их своеобразном пластическом взаимоотношении. Эту пластику пифагорейцы представляли себе в виде своеобразно понимаемых пропорций.
Пропорции пользовались огромной популярностью в пифагорейских кругах. Брали, главным образом, три пропорции: арифметическую, геометрическую и гармоническую. Под первыми двумя в числовом отношении подразумевалось то же самое, что и у нас. Под гармонической же пропорцией понималось соотношение
(а - b) а
_______ = -
(b - c) с
Эти три пропорции, конечно, меньше всего понимались как равенство только количественных отношений. Арифметическая пропорция обязательно указывала на то, что, если мы, например, видим два дерева разной величины и учитываем эту разницу, то такую же разницу мы можем находить и между другой парой деревьев или вообще другой парой вещей. Здесь, следовательно, пифагорейский глаз всё время как бы обмерял разные вещи, стремясь найти между ними наглядно и структурно видимую аналогию. То же самое - и в геометрической пропорции. Что же касается гармонической пропорции, то и она имела для пифагорейцев тоже наглядно-структурный смысл. А именно, если мы имеем три величины а, b и с, то возьмём сначала разницу между первой и второй и разницу между второй и третьей величинами. Оказывается, что отношение этих двух разниц равно отношению первой величины к третьей. Интуитивно это тоже можно себе легко представить. Если арифметическая пропорция (1:2:3) говорит о постоянном нарастании предметов на одну и ту же величину, а геометрическая (1:2:4) - о нарастании в одно и то же число раз, то гармоническая пропорция (3:4:6) говорит нам о таком отношении целого и частей, при котором мыслится одинаковость отношения двух каких-нибудь частей к своему положению относительно третьей части.
Что касается установленных в древнем пифагорействе числовых отношений между тоном, квартой, квинтой и октавой, то указанные пропорции имели следующие приложения. Отношение тона, квинты и октавы, то есть отношение 1:1 1/2:2, понималось как арифметическая пропорция - квинта мыслилась настолько же больше тона, насколько октава была больше квинты. Отношение тона, кварты и октавы, то есть отношение 1:1 1/3:2, понималось как гармоническая пропорция - на какую часть первой величины вторая превосходила первую, на такую же часть третьей величины эта третья превосходила вторую. Геометрическую пропорцию пифагорейцы находили в равенстве отношения между тоном и квартой, с одной стороны, и квинтой и октавой - с другой стороны, так как она была 1:1 1/3=1 1/2:2. Здесь, очевидно, 1 1/3 и 1 1/2 просто понимаются как два однозначных средних члена, каждый из которых представляет собою квадратный корень из произведения двух крайних членов, - арифметическая невозможность, созданная в угоду числовой пластике. В этом случае гораздо проще и понятнее было бы говорить об отношении 1:2:4:8 и т.д., то есть говорить об отношении тонов, разделённых между собою целыми октавами.
Гораздо интереснее геометрическая интерпретация музыкальных тонов. Музыкальные тона мыслились вещественно и телесно, то есть максимально раздельно и объединённо, и притом с условием максимальной естественности и правильности таких вещей и тел. Конечно, здесь приходила на помощь геометрия со своими правильными телами. И получалось, что если тон мыслить в виде куба, то кварта приравнивалась икосаэдру, квинта октаэдру и октава - тетраэдру, или пирамиде.
По словам Агриппы (XV век) пифагорейцы использовали пентаграмму в качестве отличительного знака принадлежности к их сообществу. Пифагор утверждал, что пентаграмма, или, как он её называл, гигиея (ύγιεια) (в честь греческой богини здоровья Гигиеи) представляет собой математическое совершенство, так как скрывает в себе золотое сечение (φ = (1+√5)/2 = 1,618…). Они учили, что мир состоит из пяти взаимосвязанных элементов (Огня, Воды, Воздуха, Земли и Эфира). Для отражения этой доктрины вокруг пентаграммы изображались пять букв:
ύ - ύδωρ (вода) (самый верхний), символизирующая воду;
Γ - Γαια (земля) (левый верхний), символизирующая землю;
ί - ίδέα (правый нижний), символизирующая идею, или дух по другой версии - ίερόν (храм);
έ - έιλή (верхний правый угол), символизирующая огонь;
ά - άήρ (нижний левый угол), символизирующая воздух.
Геометрическое представление тут же отождествлялось и с физическим, и притом с наглядно физическим, с наглядно видимым и осязаемым. Тут достаточно было самых ничтожных зацепок, чтобы произвести априорно требовавшийся синтез. Земля мыслилась неподвижной и устойчивой, то есть в виде куба. Вода обращала внимание "текучестью", а из правильных геометрических тел наиболее "катящимся" представлялся икосаэдр. Следовательно, вода - икосаэдр. Воздух двигается взад и вперёд, а октаэдр тоже как бы направлен одновременно в противоположные стороны, следовательно, воздух - октаэдр. И, наконец, наиболее острым, колышущимся в разные стороны воспринимался огонь, поэтому его представляли как пирамиду. Пятое правильное геометрическое тело, додекаэдр (двенадцатигранник), мыслился максимально близким к шару, то есть к наиболее совершенному по форме телу, и потому его вместе с шаром оставляли для очертания формы всего космоса в целом.
Очень трудно формулировать логическую связь между указанными арифметическими, акустическими, геометрическими и астрономическими представлениями. Но тем поразительнее тот факт, что наглядность, пластика, телесность и вещность вызывали к жизни такие синтезы, которые очень трудно доказуются какой-нибудь логикой. Так или иначе, но всякий музыкальный тон пифагорейцы представляли себе в виде земляного куба, и тогда получалось, что кварта есть водяной икосаэдр, квинта - воздушный октаэдр, и октава - огненная пирамида.
ПИФАГОРЕЙСТВО. НЕКОТОРЫЕ ДЕТАЛИ ПИФАГОРЕЙСКОЙ АКУСТИКИ
Конкретная картина музыкальной философии пифагорейцев и возникающей отсюда космической эстетики очень пестра, и разобраться в её деталях невозможно в настоящем нашем изложении. Мы укажем только самое главное.
а) Ориентиром во всей этой большой проблеме можно считать текст из "Государства" Платона (529 В), где он устанавливает принципы своего идеализма, критикуя расплывчатый эмпиризм предшествующей науки. Так, в астрономии, по его мнению, понимает не тот, "кто зевает наверх или зарывается вниз", но кто всё это внешнее разнообразие неба сводит к предметам невидимым, воспринимаемым только в уме. Затем Платон переходит к музыке.
Этот текст свидетельствует о многом.
Во-первых, пифагорейцы, известные Платону (а надо полагать, ему были известны все главные представители этой школы), исследовали музыкальные феномены эмпирически, не вдаваясь в априорное обоснование чистой слышимости. Поэтому приходится весьма критически относиться к Плутарху, который всю сложность априорных манипуляций над числами приписывает уже самому Пифагору. Он пишет: "Почтенный Пифагор отвергал оценку музыки, основанную на свидетельстве чувств. Он утверждал, что достоинства её должны быть воспринимаемы умом, и потому судил о музыке не по слуху, а на основании математической гармонии, и находил достаточным ограничить изучение музыки пределами одной октавы". Это мнение Плутарха об отношении ума к музыке необходимо отнести только Платону, потому что сам Платон, который был на 500 лет ближе к пифагорейцам, чем Плутарх, оценивает их исключительно как эмпириков и справедливо приписывает априорно-математический метод именно себе.
Во-вторых, эмпирические наблюдения пифагорейцев отличались большой тщательностью. И, в-третьих, сам Платон противопоставляет им свою собственную музыкальную теорию, как именно обоснованную трансцендентально (то есть на категориях чистого разума).
Платону не нравится эта эмпиричность, которую он, как мы увидим ниже, заменяет своими априорно-диалектическими схемами. Можно ещё прибавить и то, что в более позднюю эпоху, во второй половине IV века, защитником этой уже тогда устаревшей и, вероятно, во многих отношениях исчезнувшей энгармоники был не кто иной, как Аристоксен, который, будучи верен "эмпиризму" своего учителя Аристотеля, тяготел и к доплатоновским методам и старался поэтому реставрировать архаическую энгармонику.
Однако это только общий музыкально-теоретический фон; на нём можно указать ряд теорий, несомненно, принадлежащих пифагорейцам.
б) Именно у Архита, уже современника Платона, мы находим рассуждение о связи высоты тона с быстротой движения и с количеством колебаний. Большой отрывок об этом сохранился в Порфириевском комментарии на "Гармонику" Птолемея.
Несомненно, Архит в этом смысле - основатель физической акустики. От него не укрылось одно важное обстоятельство, которое является основанием всей проблемы "деления" октавы. Дело в том, что при атомистически-механистической точке зрения последовательное дробление тона мыслится совершенно беспрепятственно, в то время как наблюдение показывает, что если, например, взять половину струны, дающей тон е, и получить тон на октаву выше е', а потом производить такие же деления дальше, получая всё более и более высокие октавы, то число колебаний того или другого тона всякой последующей октавы будет обратно пропорционально длине струны. Чем выше тон, тем меньше соответствующая длина струны. Другими словами, тон вообще нельзя делить пополам; и тут октава делится не арифметически на два равных интервала, но гармонически на два неравных, на кварту 4/3 и на квинту 3/2, потому что 2/1=4/3х3/2. Механическое деление длины струны не даст, таким образом, непосредственного представления о высоте тона. Атомизм здесь вполне опровергнут пифагорейцами. Но отсюда следует и тот важный факт, что хотя длина струн, при вышеозначенном делении, не является величиной постоянной, пропорция между длинами струны, ограничивающими интервал, постоянна. Эта пропорция при октаве - 4:3, при целом тоне - 9:8, при полутоне - 256:243 и т.д. Бесконечная изменчивость величины интервала, таким образом, основана на вполне точном математическом законе.
Это учение и зафиксировано Архитом в виде теории трёх пропорций - арифметической, геометрической и гармонической. Нахождение этого гармонического среднего, по которому изменяется высота тона при делении целого тона, есть величайшая заслуга Архита.
Архит
в) Сюда же относится мысль и о том, что консонанс предполагает отношения целых чисел, так как точная половина октавы не даёт консонантного тона; тут 2/1=Х/У х Х/У, что при У=1 дало бы Х=корень квадратный из 2. Кроме Архита, честь этого открытия принадлежит также и Эвдоксу. Иррациональные отношения дали бы согласно этому учению не звуки, но "шумы", хотя несколькими страницами ниже Феон приписывает это самому Пифагору, как и Халкидий в своём комментарии на Тимея.
г) Архиту принадлежит и своя собственная система разделения тонов, которую мы знаем из гармоники Птолемея, откуда взял свой материал об Архите и Боэций ("О музыке").
Здесь же необходимо отметить только то, что Архит прекрасно умел выводить терцию. Однако теоретического выведения, разумеется, было недостаточно для того, чтобы она вошла и в общегреческое музыкальное сознание.
д) Архиту принадлежит, далее, теория отношения консонанса и диссонанса. Идея её сводится к тому, что тоны тем более созвучны, чем меньшим числом характеризуется их количественное отношение.
е) Наконец, правы те, которые видят основную заслугу Архита в том, что он основывает свою акустику не на мертвых арифметических схемах, но на чисто динамическом принципе. В то время как у Демокрита каждый тон есть тело, которое сталкивается с другими телами, в том числе и с огненными атомами души, будучи воспринимаем, следовательно, только путём осязания (haphe), у Архита вся эта картина есть картина нефизического движения - не движущегося воздуха, но самого акта ударения по воздуху (plage). Об этом и гласит подлинный фрагмент из "Гармоники" Архита, сохранённый нам всё тем же Порфирием.
Архит. 47 В I (динамическая картина звучания тонов).
По моему мнению, математики прекрасно установили точное познание, и [поэтому] вполне естественно, что они правильно мыслят о каждой вещи, какова она в своих свойствах. Ведь, установив прекрасно точное познание о природе вселенной, они должны были прекрасно усмотреть и относительно частных вещей, каковы они в своих свойствах. И, действительно они передали нам ясное, точное познание о скорости [движения] звёзд, об их восхождениях и захождениях, а также о геометрии, о числах, о сферике и в особенности о музыке. Ибо, как кажется, эти науки родственны. Дело в том, что они занимаются двумя родственными первообразами сущего ["именно числом и величиной". - Дильс]. Итак, прежде всего, они усмотрели, что невозможно, чтобы [был] звук, если не произошло удара каких-либо [тел] друг о друга. Удар же, говорили они, возникает, если движущиеся [тела], встретившись, столкнутся друг с другом. Итак, тела, движущиеся в противоположном направлении, сталкиваясь при взаимной встрече, [производят звук]; [тела] же, двигающиеся в одном направлении, но с неодинаковой скоростью, производят звук, когда их настигают и ударяют движущиеся за ними [тела]. Многие из них [звуков] не могут восприниматься нашей природой, одни - вследствие слабости удара, другие также вследствие далёкого расстояния от нас, некоторые же вследствие своей чрезмерной величины. Дело в том, что сильные звуки не в состоянии проникунуть к нам в ухо, подобно тому как если наливать много в сосуды с узким горлышком, то ничего не вливается. Итак, из звуков, которые [нами] ощущаются, те кажутся высокими, которые получаются от ударов с быстротой и силой, а те, которые идут медленно и слабо, кажутся нам низкими. И в самом деле, если кто-нибудь, взяв палку, будет двигать ею медленно и слабо, то ударом он производит низкий звук. Если же [станет двигать] быстро и с силой, то высокий. Но не только этим [путём] мы можем познать [это], но также [если обратим внимание на следующее]. Если в речи или пении мы желаем издать какой-либо громкий и высокий звук, то [мы достигаем цели], издавая звук посредством сильного дыхания... Ещё [можно пояснить это сравнением]: это происходит так, как у стрел. С силой выпускаемые [стрелы] летят далеко, слабо же [отпускаемые] - близко. Дело в том, что с силой несущимися [стрелами] в большей степени оттесняется воздух; слабо же несущимися - в меньшей степени. То же самое будет и со звуками. Звуки, издаваемые сильным движением, будут громкими и высокими. [Издаваемые] же слабым [дыханием] - будут слабыми и низкими. Однако и в этом показательном примере мы можем увидеть, что, хотя звуки издало то же самое [лицо], - сильный [звук] мы могли услышать издали, слабый не могли даже вблизи. Впрочем, и на флейтах дыхание, несущееся из уст, попадая в дырки, лежащие вблизи рта, вследствие [своей] большой силы производят более высокий звук, [попадая же в дырки], далеко лежащие, [производят звук] более низкий. Таким образом, ясно, что быстрое движение производит высокий [звук], медленное же - низкий. Впрочем, то же самое происходит и с бубнами, которыми размахивают в мистериях. Медленно двигаясь, они издают низкий звук, при сильном же [движении они издают] высокий [звук]. Впрочем, и свирель, если, заткнув нижнюю часть её, дуть в неё, издаст нам некий низкий звук; если же [дуть] в половину или другую любую часть её, то она будет испускать высокий звук. Ибо одно и то же дуновение выходит медленно через длинное и быстро - через более короткое.
Из нескольких источников