Учение (причем общецерковное, соборно и святоотечески утвержденное) о Третьем Риме Христовом (как о сущей итерации совечного Христовой эре Roma Aeterna - крупнейшей державы с крупнейшим православным большинством населения, каковыми некогда были Римская и Византийская державы) - разумеется есть. Вкратце суть его сводится к словам Христа о том, что больший да будет всем слугой - то есть к собой миссии страны с крупнейшим православным большинством населения (а наша страна - Россия - сохраняла такой статус даже на пике большого террора - о чем убедительно свидетельствуют данные неанонимной (!) сталинской переписи населения 1937 года) - а именно к особой миссии в деле (со)хранения, защиты, поддержки и распространения истины святой православной веры и Церкви Христовой!
Стоит отметить, что монах Филофей к утверждению и распространению этого учения никакого отношения не имел - его работы об этом в основном носили характер частных писем и были на Руси практически неизвестны вплоть до середины 19 века (кстати, при всех имевшихся у него проблемах он был довольно образованным человеком - однако отнюдь не святым). Зато учение о России (именно о Российском государстве - не о граде Москве) как от третьем Риме Христовом было проповедано несколькими десятками (!) учивших в XV-XX веках святых практически всех Поместных Церквей (в основном святителями, причем не только (чтобы не сказать не столько) русскими - хотя практически все святые предстоятели Русской Церкви допетровских времен (включая святителей Иону, обоих Филиппов, Макария, Иова и Гермогена) об этом учили, но это учение не единожды публично одобряли и святые предстоятели Константинопольской Церкви - начиная со святого Афанасия Константинопольского). То есть мы имеем здесь согласие святых!
Кстати, именно по предложению Константинопольского Патриарха (Иеремии II) учение о России как Третьем Риме и было закреплено в Уложенной Грамоте Московского Собора 1588-89 гг. (учредившем Патриаршество на Руси). Причем то, что это было сделано именно по его предложению подтверждается и двумя независимыми историческими источниками (а именно - воспоминаниями сторонних и противников оного). Под грамотой кстати стоят подписи полутора десятков святых - причем не только русских, но и греческих.
И потом решение помянутого Московского Собора были соборно же приняты (в смысле - одобрены) ВСЕМИ остальными остальными существовавшими тогда (на рубеже 16-17 вв.) Автокефальными Поместными Православными Церквями (их тогда было всего 9 (10 если считать ныне автономную Синайскую), сейчас - полтора десятка) включая ВСЕ остальные православные патриархаты - причем прежде всего было одобрено на трех Константинопольских Соборах (1590, 1593 и 1595-96 гг.). СОБОРНОЕ И СВЯТООТЕЧЕСКОЕ ОДОБРЕНИЕ ВО ВСЕХ ПОМЕСТНЫХ ЦЕРКВЯХ И ЕСТЬ ОБЩЕЦЕРКОВНОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ ЭТОГО УЧЕНИЯ! И оно никогда не теряло свою силу - в ХХ веке это публично подтвердили святые представители не только РПЦЗ, но и Сербской и других православных Церквей.
Уложенная грамота и решения этих соборов есть в сети, найти их несложно.
О значении соборного и святоотеческого одобрения можно почесть вот здесь, в пункте 4 - odinblago.ru/pravoslavie/balitnikov/