Парадокс жирного мальчика, или Как делать детей и деньги научным способом
Жирный Тони - преуспевающий не-"ботаник" с веселым характером. У него куча друзей и приятелей. У Тони есть замечательное обыкновение делать деньги без усилий, забавы ради, без напряжения, без офисной рутины, без совещаний, мешая сделки с частной жизнью. Девиз Тони: "Найти лоха". Найти лоха Тони умеет играючи: у него на них особый нюх. Пройдите с ним пару кварталов, болтая обо всем и ни о чем, и почувствуете, что узнали много нового о том, как устроен мир.
Доктор Джон - ответственный, рассудительный и мягкий человек. Он серьезно относится к своей работе, настолько серьезно, что в отличие от Тони строго разграничивает рабочее время и частную жизнь. У него докторская степень по электротехнике и электронике, полученная в Техасском университете в Остине. Так как он разбирается в компьютерах и знает статистику, его пригласили на работу в страховую компанию, где он занимается компьютерным моделированием, пользуясь в основном программами для '"управления рисками", и эта работа ему очень нравится.
Представьте, что я встретил Джона и Тони в баре. Понятно, что Джон и Тони вряд ли дышат одним и тем же воздухом, не говоря уж о том, чтобы зайти в один бар. Поэтому считайте все нижеописанное чистым мысленным экспериментом. Я задам каждому из них вопрос и сравню их ответы.
Н.Н.Т.: Предположим, у нас имеется абсолютно "честная" (идеальной формы) монета, то есть вероятность выпадения орла или решки для нее одинакова. Я подбросил ее 99 раз подряд, и каждый раз у меня выпадал орел. Какова вероятность того, что на сотый раз выпадет решка?
Доктор Джон: Тривиальный вопрос. Разумеется, 50%, если мы исходим из абсолютного равенства шансов и независимости отдельно взятого броска от всех прочих.
Н.Н.Т.: А ты что скажешь, Тони?
Жирный Тони: А я скажу, что не больше 1%.
Н.Н.Т.: Но почему? Я же сказал, что монета абсолютно "честная", то есть распределение шансов - 50/50.
Жирный Тони: Ты, блин, или пургу гонишь, или сам лох, если купился на эти "пятьдесят пра-ацентов". Монета у тя порченая. Честной игрой тут и не пахнет. (Перевод: я скорее усомнюсь в идеальной форме монеты, чем поверю в то, что "честная" монета, подброшенная девяносто девять раз, ни разу не упала вверх решкой.)
Н.Н.Т.: А вот Доктор Джон говорит, 50%.
Жирный Тони (мне на ухо) : Насмотрелся я еще в банке на этих ботанов. Медленно са-абражают, вот что. Слишком уж запрограммованные. Их обуть - как нечего делать.
Нассим Николас Талеб "Чёрный лебедь", гл.9 - Игровая ошибка, или Неопределённость "ботаника".
***
Прав, конечно, Жирный Тони - не потому, что он лучше знает теорвер, в этом ему не тягаться с д-ром Джоном, а потому, что он обладает наблюдательностью, опытом и здравым смыслом.
Выпадение 99 орлов подряд в серии из 100 бросков вещь, если подумать, не такая уж невероятная. Мы ежедневно руководствуемся сходным представлением о действительности и её законах, уповая на то, что если 99 наших попыток добиться чего-либо прошли впустую (не принесли искомого результата), а методика, на наш взгляд, была верна, то это более чем нормально: терпение и труд всё перетрут.
Если представить наличие и отсутствие результата некоего действия (скажем, высекания искры от соударения кремня и кресала) как две стороны идеальной монеты (имеющей, в отличие от настоящей только две стороны, и притом идеально сбалансированной), то костёр, жареное мясо и тёплый ночлег, разумеется, не будут необходимым следствием нецеленаправленных попыток возжечь из искры пламя. Фифти-фифти - огонь загорится случайно.
Но если попытки целенаправленны(монета "порченая"), то большинство из них будет результативно, и огонь действительно окажется следствием (правда, не необходимым, а вероятностным следствием) наших усилий высечь искру.
Д-ру Джону безразлично, как падает монета - он не играет на бирже, а продаёт биржевым дельцам свои знания теорвера по твёрдой таксе.
Жирный Тони живёт на то (и в значительной степени - тем), что играет, и отнюдь не только на бирже.
Его оценка вероятности выпадения орла в сотом броске - скорее, оценка риска игрока: стоит ли ввязываться в игру, ставя на то, что выпадет именно решка, а не орёл, и сколько денег разумно будет поставить?
Возможно, вероятность выпадения орла в сотом броске на самом деле близка к 1%, как оценивает её Тони (мы пока этого не знаем), но очевидно, что она ни в коем случае не будет такой, какой её определяет д-р Джон (50%).
Почему?
Потому что существует такая вещь, как "парадокс мальчика".
Предположим, в семье м-ра Смита двое детей, и хотя бы один из них мальчик (не обязательно жирный, хотя этот нюанс тоже имеет значение).
Какова вероятность, что второй ребёнок м-ра Смита тоже мальчик?
Ответ зависит от того, каким образом мы выяснили, что у м-ра Смита уже есть один мальчик.
Если известно, что старший ребёнок м-ра Смита - его первенец мастер Смит-джуниор, то вероятность того, что у него есть младший братец мастер Смит-джуниор-джуниор составляет 1/2:
мальчик - мальчик
девочка - девочка
мальчик - девочка
девочка - мальчик
Но если мы не знаем, каким сыном по порядку рождения является мастер Смит-джуниор, то вероятность того, что у него есть братец, оказывается равной ... 1/3:
мальчик - мальчик
девочка - девочка
мальчик - девочка
девочка - мальчик
Статистика показывает, что вероятность того, что в случайно выбранной семье с двумя детьми оба ребёнка - одного пола, действительно ближе к 1/3, чем к 1/2. В семье с тремя детьми вероятность того, что все они - одного пола, составит (по треугольнику Паскаля) 1/8 (а вероятность того, что одного пола только двое из них - втрое выше: 3/8!). При этом, если мы знаем, что старший ребёнок счастливого отца троих детей м-ра Смита - мальчик, вероятность наличия у м-ра Смита второго и третьего сына, а не двух (или одной) дочек мисс Смит, составит, соответственно, уже 3/4 и 1/4 (вдвое выше):
мальчик - мальчик - мальчик
мальчик - мальчик - девочка
мальчик - девочка - девочка
мальчик - девочка - мальчик
мальчик - мальчик - мальчик
мальчик - мальчик - девочка
мальчик - девочка - девочка
мальчик - девочка - мальчик
Это значит, что, во-первых, события, кажущиеся нам независимыми, не так уж независимы друг от друга, во-вторых, что важно знать, как мы получили сведения, на основании которых делаем выводы и принимаем решения, а в-третьих, что в серии из 100 бросков монеты, в которых орёл уже выпал 99 раз подряд, имеет смысл ставить на то, что на сотый раз наконец-то выпадет решка: это намного более вероятно.
***
Если вам интересно, какова вероятность выпадения 99 орлов в серии из 100 бросков, рассчитанная по формуле Бернулли, то она выглядит вот так:
0.000000000000000000000000000078886091
Я нарочно использую жирный шрифт, чтобы она казалась побольше!
Вероятность выпадения 100 орлов в серии из 100 бросков будет такой:
0.00000000000000000000000000000078886091
Возможно, это нелегко заметить на глаз, но эта вероятность ровно в 100 раз меньше, чем первая.
1% - это ровно в 100 раз меньше 100%.
Вряд ли Жирный Тони умеет так правильно и быстро считать, как это делает онлайн-калькулятор Google, зато у него хорошо развита интуиция.