Продолжаем изобретать
велосипед математику (ну, безумное хобби)
В общем, без чисел (натуральных, которых, как говорят, создал тов.Бог :-)). Вместо будем пользоваться перебором и индексом. Не уверен, что могу записать аксиоматически, но так же не уверен, что аксиоматика нужна, поэтому описательно. Итак, перебор невозможен без индексации, т.к. иначе нельзя различать перебираемые элементы. Перебор также имеет начало, даже если возможная индексация бесконечна. Последовательный перебор - когда следующему элементу назначают новый индекс, причем есть предыдущий (кроме начального, с оговорками, которые пока опустим) и последующий, пропуски не допускаются (ни неиндексированных элементов - их же нельзя идентифицировать, ни пустых незначащих индексов). Индексы последовательного перебора равнозначны между собой, кроме начального избранных нет (что и обеспечивает отсутвие незначащих или слишком сильно значащих индексов). Возможно и начало новой дополнительной индексации с теми же свойствами, начиная с какого-то элемента уже начатой. Если ведем ее в том же направлении, что и от начала изначальной, получаем сложение, если обратно к началу - вычитание. Т.е. в параллельных индексациях легко находим соответствующие индексы, например, перебираем до III в первой индексации, затем со следующего индекса IV индексируем в новой еще 4 (использую в примере знакомые всем индексации :-)), и в итоге получаем VII первой индексации, а вот обратно в данном примере так не можем (исчерпаем начальный элемент, в римской записи нуля и отрицательных значений нет, дойдем только до "отсутсвия индекса" :-)). При таком подходе вычитание - отнюдь не обратная операция к сложению, а сходная (тоже индексация), хотя и с нюансом. Однако, и это частный случай, т.к. можно и далее продолжить заниматься параллельными индексациями. Но следующие на "числа и две арифметические операции" уже не будут похожи, т.к. при дополнительных индексациях могут быть еще смены направлений индексации, а может их и не быть. Пример. Перебрав до III, при дополнительной индексации с IV индексируем, допустим, еще вперед на 2 (не как в первом примере) до V изначальной индексации. А затем при добавлении еще новой могут быть варианты, скажем, на ٣ (приходится использовать тоже распространенную, но не всем известную индексацию): либо вперед от начала c VI, либо назад к началу с IV (они следуют после V), и тогда итог по изначальной индексации будет либо VIII либо II. Да, индексации добавляются не последовательно, а паралельно, и при все же распоследовании все равно, когда какую (не стал демонстрировать, чтобы индексацией назад с II на ٣ не получать "отсуствия индекса", да и с ٤ не прокатило бы из-за несовершенства римской индексации :-)). Что с этим последним (растущих вариациях смены направлений при добавлении систем индексации) делать, пока сам еще не переварил :-). Но то, что используются разные индексации, существенно, т.к. иначе этот эффект не будет заметен: в первом примере (получившееся сложение и не вышедшее вычитание) принято использовать одну и ту же индексацию, и производить фактически три перебора, а разом все. Ладно, посчитаем переборы, раз это так привычно :-): перебираем с начала до назначения какого-то индекса, это раз, дальнейшее (при сложении) со следующего индекса перебираем опять с начального индекса такими же индексами (либо при вычитании с последнего в обратную сторону - выкидываем перебранное), это два, а потом перебираем, что получилось, все вместе с начала, это третий перебор-индексация. Введение понятия числа позволяет облегчить это обстоятельство, чтобы пользоваться одной индексацией, не думать о переборах и проще получать дополнительные операции. Пока хватит, может и так что существенное упустил в описании :-)
В общем, без чисел (натуральных, которых, как говорят, создал тов.Бог :-)). Вместо будем пользоваться перебором и индексом. Не уверен, что могу записать аксиоматически, но так же не уверен, что аксиоматика нужна, поэтому описательно. Итак, перебор невозможен без индексации, т.к. иначе нельзя различать перебираемые элементы. Перебор также имеет начало, даже если возможная индексация бесконечна. Последовательный перебор - когда следующему элементу назначают новый индекс, причем есть предыдущий (кроме начального, с оговорками, которые пока опустим) и последующий, пропуски не допускаются (ни неиндексированных элементов - их же нельзя идентифицировать, ни пустых незначащих индексов). Индексы последовательного перебора равнозначны между собой, кроме начального избранных нет (что и обеспечивает отсутвие незначащих или слишком сильно значащих индексов). Возможно и начало новой дополнительной индексации с теми же свойствами, начиная с какого-то элемента уже начатой. Если ведем ее в том же направлении, что и от начала изначальной, получаем сложение, если обратно к началу - вычитание. Т.е. в параллельных индексациях легко находим соответствующие индексы, например, перебираем до III в первой индексации, затем со следующего индекса IV индексируем в новой еще 4 (использую в примере знакомые всем индексации :-)), и в итоге получаем VII первой индексации, а вот обратно в данном примере так не можем (исчерпаем начальный элемент, в римской записи нуля и отрицательных значений нет, дойдем только до "отсутсвия индекса" :-)). При таком подходе вычитание - отнюдь не обратная операция к сложению, а сходная (тоже индексация), хотя и с нюансом. Однако, и это частный случай, т.к. можно и далее продолжить заниматься параллельными индексациями. Но следующие на "числа и две арифметические операции" уже не будут похожи, т.к. при дополнительных индексациях могут быть еще смены направлений индексации, а может их и не быть. Пример. Перебрав до III, при дополнительной индексации с IV индексируем, допустим, еще вперед на 2 (не как в первом примере) до V изначальной индексации. А затем при добавлении еще новой могут быть варианты, скажем, на ٣ (приходится использовать тоже распространенную, но не всем известную индексацию): либо вперед от начала c VI, либо назад к началу с IV (они следуют после V), и тогда итог по изначальной индексации будет либо VIII либо II. Да, индексации добавляются не последовательно, а паралельно, и при все же распоследовании все равно, когда какую (не стал демонстрировать, чтобы индексацией назад с II на ٣ не получать "отсуствия индекса", да и с ٤ не прокатило бы из-за несовершенства римской индексации :-)). Что с этим последним (растущих вариациях смены направлений при добавлении систем индексации) делать, пока сам еще не переварил :-). Но то, что используются разные индексации, существенно, т.к. иначе этот эффект не будет заметен: в первом примере (получившееся сложение и не вышедшее вычитание) принято использовать одну и ту же индексацию, и производить фактически три перебора, а разом все. Ладно, посчитаем переборы, раз это так привычно :-): перебираем с начала до назначения какого-то индекса, это раз, дальнейшее (при сложении) со следующего индекса перебираем опять с начального индекса такими же индексами (либо при вычитании с последнего в обратную сторону - выкидываем перебранное), это два, а потом перебираем, что получилось, все вместе с начала, это третий перебор-индексация. Введение понятия числа позволяет облегчить это обстоятельство, чтобы пользоваться одной индексацией, не думать о переборах и проще получать дополнительные операции. Пока хватит, может и так что существенное упустил в описании :-)