Модальная ТМ
Множество из трех элементов S={a,b,c} имеет восемь (23) классических подмножеств.
Отметим: каждое подмножество суть способ явления самого множества S.
Возьмем подмножество A={a,b}.
Согласно основному постулату класс. логики, все, что есть, есть необходимо, оба элемента включны в A необходимо. Третий элемент, c, также необходимо не включен.
Будет приписывать элементам подмножества индикаторный префикс "p_", где p из {0,1}. Тогда A можно записать так: A={1_a, 1_b, 0_c}. Индикаторные константы имеют естественную интерпретацию: 0 - невозможность, 1 - необходимость. Стало быть, в класс. логике возможность полностью тожественна необходимости, а невозможность есть необходимость отсутствия. Ясно, что каждое A имеет единственное экстенсивное представление.
Теперь расширим набор индикаторных констант до {0,m,1}.
Невозможные элементы вида 0_x будем опускать, у необходимых опускать префикс, префикс "m_" заменим на à. Тогда A, при условии не включения c, имеет четыре возможных представления с различным смыслом:
- {a,b} - классическое: оба элемента необходимы,
- {a, àb} - модальное отн. b,
- {àa, b} - модальное отн. a,
- {àa, àb} - модальное отн. a и b.
Модальность отн. b представления {a, àb} означает, что b может входить или не входить в A, т.е. b возможно, но ненеобходимо, включено в A.
А это полностью совпадает по смыслу с сопряжением двух различных классических подмножеств: {a} и {a, b}, что удобно записать в виде
{a, àb} = { {a}, {a, b} } . Аналогично, {àa, àb} = { {}, {a}, {b}, {a, b} }.
Таким образом, одно подмножество из k элементов при невозможности прочих имеет 2k, а с учетом собственных подмножеств 3k, модальностей.