хофштадтер о математическом потолке
Даглас Хофштадтер (автор «Гёдель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда») опубликовал статью лет 10 назад, с ответами на вопросы восьмиклассницы о его отношениях с математикой, что ему было трудно в ней, какие он советы даст школьникам итд. Он открыто и откровенно говорит там о своих сложностях, используя метафоры "потолка абстракции" и разреженного воздуха альпиниста, и его впечатления покажутся знакомыми многим, я думаю - несомненно мне они знакомы. Привожу длинные отрывки в переводе с англ.:
"Я с благодарностью воспринимаю то, что меня считают математиком (и тем более "выдающимся"!), но, к сожалению, я совсем не принадлежу к этому довольно редкому виду. Я "математическая личность", это несомненно: я рос с глубокой любовью к математике и размышлял о математических вещах практически всю свою жизнь (вплоть до сегодняшнего дня), но в начале двадцатых годов моей жизни наступил момент, когда я внезапно осознал, что просто не способен мыслить достаточно чётко на том уровне абстракции, который необходим для внесения серьёзного вклада в современную математику. Это произошло, когда я учился в аспирантуре по математике (в Беркли), и ввиду этого осознания я бросил учёбу. Это был очень резкий поворот в моей карьере и, нечего и говорить, огромный удар по моему эго.
Как я это формулирую теперь, в начале аспирантуры по математике "я ударился головой о свой потолок абстракции" - и что забавно в этом в остальном очень огорчительном образе, так это то, что так называемый "потолок абстракции" находился внутри моей головы! Это было внутреннее ограничение моего мозга или разума! Так что нужно представить, как мой череп ударяется прямо в жёсткое препятствие, которое находится внутри самого черепа - ой!
До того травматического события в Беркли, когда мне было около 22 лет, я ни на мгновение не подозревал, что в моей голове существует такая вещь, как "потолок абстракции". Я всегда считал само собой разумеющимся, что моя способность усваивать абстрактные идеи в математике будет продолжать расти по мере получения новых знаний и опыта в математике, как это было в школе и колледже. На самом деле, я специализировался на математике в Стэнфорде, и за четыре года учёбы там я провёл множество самостоятельных исследований определённых видов закономерностей в теории чисел и сделал массу открытий, которых никто из моих профессоров никогда не видел, и процесс совершения этих прекрасных открытий полностью опьянил меня, заставив поверить, что у меня есть всё необходимое, чтобы стать математиком мирового класса. Это было восхитительное, прекрасное, захватывающее чувство, и оно длилось несколько лет, но в конце концов, увы, оказалось иллюзией.
Как я говорю, я обнаружил через пару лет, когда учился в аспирантуре по математике, что просто не способен усваивать идеи, которые было необходимо усвоить для того, чтобы стать высококлассным профессиональным математиком. Или точнее, если я и мог их усвоить, то только черепашьим шагом, и даже тогда моё понимание всегда оставалось размытым и нечётким, и я постоянно должен был возвращаться назад, чтобы пересматривать и освежать мои слабые познания. Вещи на том разреженном уровне абстракции (теория групп, теория колец, теория полей, теория Галуа, топология и т.д. - фундаментальные курсы, которые были обязательны для всех аспирантов в Беркли) просто не задерживались в моей голове так, как более конкретные темы из программы бакалавриата (математический анализ, комплексные переменные, теория чисел, математическая логика). Это было похоже на пребывание высоко в горах, где атмосфера становится настолько тонкой, что внезапно становится трудно дышать и даже ходить. Если альпинист не знает, что атмосфера становится всё более разреженной по мере подъёма, то в какой-то момент на очень высокой горе он будет застигнут врасплох и озадачен своей внезапной неспособностью продолжать восхождение в том же темпе, что и раньше - его шокирует то, что он замедлился до ползания или полной остановки. Это будет смущающий, пугающий и отрезвляющий опыт.
Именно так это было со мной в Беркли. Внезапно я отчаянно боролся, буксовал, скользил, никуда не продвигался, постоянно пребывал в замешательстве и был чрезвычайно обескуражен. За год или около того я потерял практически всю уверенность в своих математических способностях, хотя я очень хорошо выступал на различных математических соревнованиях в школе и также весьма успешно участвовал в подобных соревнованиях в колледже.
[автор переходит на учебу физике и успешно заканчивает докторскую степень в другом университете]
Но как только я получил докторскую степень по физике, я оставил физику навсегда (как и в математике в Беркли, у меня также были очень травматичные переживания в физике в Орегоне, к моему большому шоку и разочарованию), и я в итоге перешёл в когнитивную науку - область, в которой изучается природа самого мышления, которая является гораздо менее математической дисциплиной, и она определённо не требует тех же видов высоких абстракций, которые так сильно сломали мой мозг, когда я был в Беркли."
[источник. В конце статьи Хофштадтер приводит несколько примеров книг, открывающих путь в математику для интересующегося подростка или взрослого]
"Я с благодарностью воспринимаю то, что меня считают математиком (и тем более "выдающимся"!), но, к сожалению, я совсем не принадлежу к этому довольно редкому виду. Я "математическая личность", это несомненно: я рос с глубокой любовью к математике и размышлял о математических вещах практически всю свою жизнь (вплоть до сегодняшнего дня), но в начале двадцатых годов моей жизни наступил момент, когда я внезапно осознал, что просто не способен мыслить достаточно чётко на том уровне абстракции, который необходим для внесения серьёзного вклада в современную математику. Это произошло, когда я учился в аспирантуре по математике (в Беркли), и ввиду этого осознания я бросил учёбу. Это был очень резкий поворот в моей карьере и, нечего и говорить, огромный удар по моему эго.
Как я это формулирую теперь, в начале аспирантуры по математике "я ударился головой о свой потолок абстракции" - и что забавно в этом в остальном очень огорчительном образе, так это то, что так называемый "потолок абстракции" находился внутри моей головы! Это было внутреннее ограничение моего мозга или разума! Так что нужно представить, как мой череп ударяется прямо в жёсткое препятствие, которое находится внутри самого черепа - ой!
До того травматического события в Беркли, когда мне было около 22 лет, я ни на мгновение не подозревал, что в моей голове существует такая вещь, как "потолок абстракции". Я всегда считал само собой разумеющимся, что моя способность усваивать абстрактные идеи в математике будет продолжать расти по мере получения новых знаний и опыта в математике, как это было в школе и колледже. На самом деле, я специализировался на математике в Стэнфорде, и за четыре года учёбы там я провёл множество самостоятельных исследований определённых видов закономерностей в теории чисел и сделал массу открытий, которых никто из моих профессоров никогда не видел, и процесс совершения этих прекрасных открытий полностью опьянил меня, заставив поверить, что у меня есть всё необходимое, чтобы стать математиком мирового класса. Это было восхитительное, прекрасное, захватывающее чувство, и оно длилось несколько лет, но в конце концов, увы, оказалось иллюзией.
Как я говорю, я обнаружил через пару лет, когда учился в аспирантуре по математике, что просто не способен усваивать идеи, которые было необходимо усвоить для того, чтобы стать высококлассным профессиональным математиком. Или точнее, если я и мог их усвоить, то только черепашьим шагом, и даже тогда моё понимание всегда оставалось размытым и нечётким, и я постоянно должен был возвращаться назад, чтобы пересматривать и освежать мои слабые познания. Вещи на том разреженном уровне абстракции (теория групп, теория колец, теория полей, теория Галуа, топология и т.д. - фундаментальные курсы, которые были обязательны для всех аспирантов в Беркли) просто не задерживались в моей голове так, как более конкретные темы из программы бакалавриата (математический анализ, комплексные переменные, теория чисел, математическая логика). Это было похоже на пребывание высоко в горах, где атмосфера становится настолько тонкой, что внезапно становится трудно дышать и даже ходить. Если альпинист не знает, что атмосфера становится всё более разреженной по мере подъёма, то в какой-то момент на очень высокой горе он будет застигнут врасплох и озадачен своей внезапной неспособностью продолжать восхождение в том же темпе, что и раньше - его шокирует то, что он замедлился до ползания или полной остановки. Это будет смущающий, пугающий и отрезвляющий опыт.
Именно так это было со мной в Беркли. Внезапно я отчаянно боролся, буксовал, скользил, никуда не продвигался, постоянно пребывал в замешательстве и был чрезвычайно обескуражен. За год или около того я потерял практически всю уверенность в своих математических способностях, хотя я очень хорошо выступал на различных математических соревнованиях в школе и также весьма успешно участвовал в подобных соревнованиях в колледже.
[автор переходит на учебу физике и успешно заканчивает докторскую степень в другом университете]
Но как только я получил докторскую степень по физике, я оставил физику навсегда (как и в математике в Беркли, у меня также были очень травматичные переживания в физике в Орегоне, к моему большому шоку и разочарованию), и я в итоге перешёл в когнитивную науку - область, в которой изучается природа самого мышления, которая является гораздо менее математической дисциплиной, и она определённо не требует тех же видов высоких абстракций, которые так сильно сломали мой мозг, когда я был в Беркли."
[источник. В конце статьи Хофштадтер приводит несколько примеров книг, открывающих путь в математику для интересующегося подростка или взрослого]