о симметрии
Вот задача с математического командного турнира старшеклассников:
Кузнечик совершил три прыжка по плоскости. Его первый прыжок - на 1 м, второй - на 2 м, третий - на 4 м. Найдите фигуру, образованную всеми точками плоскости, до которых кузнечик сможет, начиная с данной точки, допрыгать за 3 описанных прыжка.
(источник, как часто в последнее время - прекрасное ФБ-сообщество К.Кнопа).
Если хотите решить сами, остановитесь здесь и не читайте дальше, я буду обсуждать решение.
===============
Мне понравилось в одном из предложенных решений, как соображения симметрии немедленно приводят от условий задачи к практически готовому ответу, в котором только нужно некоторые детали прояснить.
Предложенное решение начинается так: "Поскольку задача симметрична, то ответом будет кольцо". Мне кажется очень красивой ёмкость этого краткого утверждения - оно может служить прекрасной "рекламой" силы симметрии. При этом само утверждение не сложное - математикам оно понятно без дальнейших объяснений, но и простые смертные вроде нас могут разобраться.
Действительно, если мы представим себе луч, выходящий в каком-то направлении из начальной точки, то достаточно разобраться, до каких точек на этом луче кузнечик сможет допрыгнуть за 3 прыжка данных длин. Если мы знаем все возможные конечные точки на луче, то теперь вращением всей плоскости вокруг начальной точки мы получаем "бесплатно" на всех остальных лучах, и таким образом на всей плоскости.
Кроме того, если до двух разных точек А и Б на луче кузнечик может допрыгнуть, то он сможет допрыгнуть и до любой точки между ними (не может быть 'разрывов' между А и Б). Ну это потому, например, что от прыжков к А можно плавно перейти к прыжкам к Б (все время чуть-чуть варьируя угол первого прыжка, пока он не совпадет, потом второго...) и тогда конечная точка этих прыжков плавно переместится от А к Б, проходя сквозь все точки посредине.
Значит, набор всех точек, до которых можно допрыгнуть на луче - это какой-то отрезок. А вращая этот отрезок, чтобы получить набор на всех лучах, как раз и получаем кольцо.
Для того, чтобы быстро доказать, *какое именно* это кольцо, можно воспользоваться еще одним видом симметрии - на этот раз симметрией по времени.
Представим себе, что кузнечик прыгает от конечной точки к начальной, т.е прокрутим видео прыжков назад во времени. Сначала 4 метра, потом 2, потом 1. До какого расстояния от конечной точки он сможет допрыгнуть? В такой формулировке очевидно, что самое большое расстояние - 7 метров (продолжает прыгать 2 и 1 в том же направлении, что 4), самое маленькое - 1 метр (возвращается 2 и 1 в обратном направлении от 4).
Значит, ответ - кольцо между окружностями радиусов 1 и 7 метров вокруг начальной точки.
Если хочется убедиться явно (а не по теоретическому аргументу выше), что до любого расстояния между 1 и 7 метрами можно допрыгнуть, достаточно посмотреть - все еще двигаясь назад во времени, начиная с 4 метров - на прыжки в 2 и 1 метра в одном направлении, т.е. будто это один прыжок в 3 метра. Варьируя его угол относительно прыжка в 4, мы увидим, что начальная точка описывает полукруг, соединяющий прыжок на 7 и прыжок на 1. Очевидно, расстояние до конечной по мере прохождения полукруга покрывает все возможные числа между 1 и 7. См. приложенный рисунок.
Кузнечик совершил три прыжка по плоскости. Его первый прыжок - на 1 м, второй - на 2 м, третий - на 4 м. Найдите фигуру, образованную всеми точками плоскости, до которых кузнечик сможет, начиная с данной точки, допрыгать за 3 описанных прыжка.
(источник, как часто в последнее время - прекрасное ФБ-сообщество К.Кнопа).
Если хотите решить сами, остановитесь здесь и не читайте дальше, я буду обсуждать решение.
===============
Мне понравилось в одном из предложенных решений, как соображения симметрии немедленно приводят от условий задачи к практически готовому ответу, в котором только нужно некоторые детали прояснить.
Предложенное решение начинается так: "Поскольку задача симметрична, то ответом будет кольцо". Мне кажется очень красивой ёмкость этого краткого утверждения - оно может служить прекрасной "рекламой" силы симметрии. При этом само утверждение не сложное - математикам оно понятно без дальнейших объяснений, но и простые смертные вроде нас могут разобраться.
Действительно, если мы представим себе луч, выходящий в каком-то направлении из начальной точки, то достаточно разобраться, до каких точек на этом луче кузнечик сможет допрыгнуть за 3 прыжка данных длин. Если мы знаем все возможные конечные точки на луче, то теперь вращением всей плоскости вокруг начальной точки мы получаем "бесплатно" на всех остальных лучах, и таким образом на всей плоскости.
Кроме того, если до двух разных точек А и Б на луче кузнечик может допрыгнуть, то он сможет допрыгнуть и до любой точки между ними (не может быть 'разрывов' между А и Б). Ну это потому, например, что от прыжков к А можно плавно перейти к прыжкам к Б (все время чуть-чуть варьируя угол первого прыжка, пока он не совпадет, потом второго...) и тогда конечная точка этих прыжков плавно переместится от А к Б, проходя сквозь все точки посредине.
Значит, набор всех точек, до которых можно допрыгнуть на луче - это какой-то отрезок. А вращая этот отрезок, чтобы получить набор на всех лучах, как раз и получаем кольцо.
Для того, чтобы быстро доказать, *какое именно* это кольцо, можно воспользоваться еще одним видом симметрии - на этот раз симметрией по времени.
Представим себе, что кузнечик прыгает от конечной точки к начальной, т.е прокрутим видео прыжков назад во времени. Сначала 4 метра, потом 2, потом 1. До какого расстояния от конечной точки он сможет допрыгнуть? В такой формулировке очевидно, что самое большое расстояние - 7 метров (продолжает прыгать 2 и 1 в том же направлении, что 4), самое маленькое - 1 метр (возвращается 2 и 1 в обратном направлении от 4).
Значит, ответ - кольцо между окружностями радиусов 1 и 7 метров вокруг начальной точки.
Если хочется убедиться явно (а не по теоретическому аргументу выше), что до любого расстояния между 1 и 7 метрами можно допрыгнуть, достаточно посмотреть - все еще двигаясь назад во времени, начиная с 4 метров - на прыжки в 2 и 1 метра в одном направлении, т.е. будто это один прыжок в 3 метра. Варьируя его угол относительно прыжка в 4, мы увидим, что начальная точка описывает полукруг, соединяющий прыжок на 7 и прыжок на 1. Очевидно, расстояние до конечной по мере прохождения полукруга покрывает все возможные числа между 1 и 7. См. приложенный рисунок.