как умножать матрицы
Гильберт Стрэнг более полувека преподает математику в МИТ, из них 40 лет - линейную алгебру. Автор одного из самых популярных учебников линейной алгебры по-английски.
И вот недавно он решил, что умножение матриц надо преподавать не так, как обычно, и как в его книге, и как он 40 лет преподавал, а по-другому. Написал об этом статью пару лет назад ("Multiplying and Factoring Matrices"), а в этом году еще и записал шесть видео-уроков с объяснениями этого нового пути и почему так лучше.
Уроки я не смотрел пока, сразу скажу; статью пролистал. Главная идея - это что процесс умножения матриц следует преподавать и представлять не как "строки умножить на столбцы", а как "столбцы умножить на строки". Пусть есть две матрицы A[m x n], и B[n x p]. Тогда
"строки умножить на столбцы": в ячейку [i,j] результата попадает произведение i-й строки A и j-го столбца B.
"столбцы умножить на строки": результат является суммой n матриц вида "i-й столбец A - матрица mx1 - умножить на i-ю строку B - матрицу 1xp". Каждое такое произведение это матрица mxp ранга 1, и их сумма по всем i дает результат.
Стрэнг утверждает, что такое представление умножения матриц помогает студентам понять и усвоить все основные теоремы начального курса линейной алгебры, где матрицы разбиваются на множители:
- исключение переменных по методу Гаусса
- ортогонализация Грама-Шмидта
- спектральная теорема для симметричной матрицы
- спектральное разложение для n независимых собственных значений
- сингулярное разложение
Понятно, что с точки зрения реального математического содержания здесь ничего нового нет. Но именно с педагогической точки зрения мне неясно - вряд ли же это впервые кто-то так предлагает обучать студентов умножению матриц в курсе линейной алгебры? Может, математики выскажут свое мнение о том, известен этот метод или нет, и что они вообще о нем думают? Как-то любопытно стало.
И вот недавно он решил, что умножение матриц надо преподавать не так, как обычно, и как в его книге, и как он 40 лет преподавал, а по-другому. Написал об этом статью пару лет назад ("Multiplying and Factoring Matrices"), а в этом году еще и записал шесть видео-уроков с объяснениями этого нового пути и почему так лучше.
Уроки я не смотрел пока, сразу скажу; статью пролистал. Главная идея - это что процесс умножения матриц следует преподавать и представлять не как "строки умножить на столбцы", а как "столбцы умножить на строки". Пусть есть две матрицы A[m x n], и B[n x p]. Тогда
"строки умножить на столбцы": в ячейку [i,j] результата попадает произведение i-й строки A и j-го столбца B.
"столбцы умножить на строки": результат является суммой n матриц вида "i-й столбец A - матрица mx1 - умножить на i-ю строку B - матрицу 1xp". Каждое такое произведение это матрица mxp ранга 1, и их сумма по всем i дает результат.
Стрэнг утверждает, что такое представление умножения матриц помогает студентам понять и усвоить все основные теоремы начального курса линейной алгебры, где матрицы разбиваются на множители:
- исключение переменных по методу Гаусса
- ортогонализация Грама-Шмидта
- спектральная теорема для симметричной матрицы
- спектральное разложение для n независимых собственных значений
- сингулярное разложение
Понятно, что с точки зрения реального математического содержания здесь ничего нового нет. Но именно с педагогической точки зрения мне неясно - вряд ли же это впервые кто-то так предлагает обучать студентов умножению матриц в курсе линейной алгебры? Может, математики выскажут свое мнение о том, известен этот метод или нет, и что они вообще о нем думают? Как-то любопытно стало.