о привыкании к абстрактной математике
Цитата из книги Иэна Стюарта "Концепции современной математики", написанной для широкой аудитории, читателей, не знакомых с математикой за пределом школьной программы:
«Так, например, понятие «rруппы» относится и к жестким движениям в пространстве, и к симметриям гeoметрических фиrур, и к аддитивной структуре на множестве целых чисел, и к деформациям кривых в тополоrическом пространстве. Общим свойством во всех перечисленных случаях является возможность составить такую комбинацию двух данных объектов, которая дает в результате объект той же природы. Два жестких движения, выполненные последовательно одно за друrим, снова дают жесткое движение; сумма двух целых чисел - целое число; две кривые, смыкающиеся концами, образуют новую кривую».
У меня с годами сложилось впечатление, что подобные объяснения - "что такое группа" и многие другие примеры - не "работают" в случае неподготовленного читателя в первую очередь потому, что авторы объяснений не осознают, до какой степени привычна им "объектификация", т.е. использование абстрактных понятий (типа "функция" или "жесткое движение") в виде (псевдо-)конкретных "объектов", с которыми можно выполнять некие "операции".
"Два жестких движения, выполненные последовательно одно за друrим, снова дают жесткое движение". Математик не осознает, насколько ужасающе неинтуитивным это предложение является для любого, кто не прошел хоть в какой-то степени абстрактную школу современной математики. Можно объяснить, что такое "жесткое движение" на пальцах, но после этого объяснения ваш собеседник-гуманитарий понимает, что жесткое движение - это такое действие, это что-то, что происходит во времени с конкретной фигурой. Окей, мы можем совершить два движения одно за другим, предположим, но ничто не подготовило нас к тому, чтобы воспринимать это сочетание, как операцию, которую проводят *с движениями*, а не с фигурой. Вот тут, мне кажется, ключевая загвоздка. Движения - это действия, а не объекты, их не сочетают (а тем более не складывают, но это отдельная тема), с ними вообще ничего не делают, делают *ими*. Вы можете написать на бумаге, что движения это объекты и с ними проводят операцию, которая дает новое движение, но условный "гуманитарий" без опыта такой ментальной манипуляции может прочитать эти слова пять раз и они все равно останутся словами. Это нужно прочувствовать на опыте, продумать и вдумать в себя, тут очень помогает именно нотация: то, что мы можем обозначить действие через букву, и написать + или другой символ операции, как будто это были числа и мы с ними что-то делали. Но тоже не с первого знакомства, нужно, чтобы эти - тривиальные для математика - примеры отпечатались в мозгу и что-то там повернулось, что-то, что делает эти ментальные операции:
- "смотрим на этот сложный объект-действие-что-угодно как на простой объект, с которым можно что-то делать"
- "смотрим на все эти возможные объекты и воспринимаем их как единое *множество*, с которым можно что-то делать"
- делает их все тривиально простыми. Я думаю, что даже самое ясное и полезное объяснение в нонфикшн-книге не может покрыть эту пропасть непонимания.
Отдельная тема, как я написал выше - это что плюс может означать "что угодно, лишь бы аксиомы выполнялись", и это тоже странная точка зрения, к которой надо привыкнуть по примерам, которые сначала не понимаешь, и задачам, которые сначала не выходят. Но на мой взгляд, это вторичная проблема в сравнении с описанной выше.
(это была моя реплика из дискуссии в чате телеграма, которую мне захотелось вынести в отдельную запись. Прошу не вчитывать в нее никакого негативного отношения к гуманитариям. Прошлая запись на схожую тему: Можно ли объяснить, что такое теория категорий?)
«Так, например, понятие «rруппы» относится и к жестким движениям в пространстве, и к симметриям гeoметрических фиrур, и к аддитивной структуре на множестве целых чисел, и к деформациям кривых в тополоrическом пространстве. Общим свойством во всех перечисленных случаях является возможность составить такую комбинацию двух данных объектов, которая дает в результате объект той же природы. Два жестких движения, выполненные последовательно одно за друrим, снова дают жесткое движение; сумма двух целых чисел - целое число; две кривые, смыкающиеся концами, образуют новую кривую».
У меня с годами сложилось впечатление, что подобные объяснения - "что такое группа" и многие другие примеры - не "работают" в случае неподготовленного читателя в первую очередь потому, что авторы объяснений не осознают, до какой степени привычна им "объектификация", т.е. использование абстрактных понятий (типа "функция" или "жесткое движение") в виде (псевдо-)конкретных "объектов", с которыми можно выполнять некие "операции".
"Два жестких движения, выполненные последовательно одно за друrим, снова дают жесткое движение". Математик не осознает, насколько ужасающе неинтуитивным это предложение является для любого, кто не прошел хоть в какой-то степени абстрактную школу современной математики. Можно объяснить, что такое "жесткое движение" на пальцах, но после этого объяснения ваш собеседник-гуманитарий понимает, что жесткое движение - это такое действие, это что-то, что происходит во времени с конкретной фигурой. Окей, мы можем совершить два движения одно за другим, предположим, но ничто не подготовило нас к тому, чтобы воспринимать это сочетание, как операцию, которую проводят *с движениями*, а не с фигурой. Вот тут, мне кажется, ключевая загвоздка. Движения - это действия, а не объекты, их не сочетают (а тем более не складывают, но это отдельная тема), с ними вообще ничего не делают, делают *ими*. Вы можете написать на бумаге, что движения это объекты и с ними проводят операцию, которая дает новое движение, но условный "гуманитарий" без опыта такой ментальной манипуляции может прочитать эти слова пять раз и они все равно останутся словами. Это нужно прочувствовать на опыте, продумать и вдумать в себя, тут очень помогает именно нотация: то, что мы можем обозначить действие через букву, и написать + или другой символ операции, как будто это были числа и мы с ними что-то делали. Но тоже не с первого знакомства, нужно, чтобы эти - тривиальные для математика - примеры отпечатались в мозгу и что-то там повернулось, что-то, что делает эти ментальные операции:
- "смотрим на этот сложный объект-действие-что-угодно как на простой объект, с которым можно что-то делать"
- "смотрим на все эти возможные объекты и воспринимаем их как единое *множество*, с которым можно что-то делать"
- делает их все тривиально простыми. Я думаю, что даже самое ясное и полезное объяснение в нонфикшн-книге не может покрыть эту пропасть непонимания.
Отдельная тема, как я написал выше - это что плюс может означать "что угодно, лишь бы аксиомы выполнялись", и это тоже странная точка зрения, к которой надо привыкнуть по примерам, которые сначала не понимаешь, и задачам, которые сначала не выходят. Но на мой взгляд, это вторичная проблема в сравнении с описанной выше.
(это была моя реплика из дискуссии в чате телеграма, которую мне захотелось вынести в отдельную запись. Прошу не вчитывать в нее никакого негативного отношения к гуманитариям. Прошлая запись на схожую тему: Можно ли объяснить, что такое теория категорий?)