теория галуа для начинающих
Попалась мне тут статья Джона Стиллвелла "Galois Theory For Beginners" и очень понравилась. Стиллвелл показывает, как всего на 4-х страницах можно доказать знаменитую теорему о неразрешимости в радикалах уравнений 5-й степени и выше. Идея его подхода в том, что большая часть стандартного аппарата теории Галуа - нормальные расширения, сепарабельные расширения, и особенно "фундаментальная теорема теории Галуа" для этого применения практически не нужны; те их небольшие части, что нужны, можно в упрощенном виде вставить в текст доказательства.
Рекомендую эту статью тем, кто помнит основные начала высшей алгебры (что такое поле, группа, автоморфизм, нормальная подргруппа и фактор-группа), но ни разу не разбирал толком доказательство неразрешимости в радикалах.
Я посидел немного над ее текстом и повспоминал всякие вещи, и все-таки мне кажется, что кое-чего там не хватает, чтобы доказательство было полным и убедительным. Вот как, мне кажется, должен выглядеть план док-ва, в основном по Стиллвеллу, чтобы быть самодостаточным:
1. Надо прояснить, что значит "решить общее уравнение n-ной степени в радикалах". Берем n неизвестных u1...un, и строим поле Q0 = Q(u1...un) рациональных функций от этих неизвестных. Теперь мы можем это поле расширять радикалами: каждый раз добавлять корень какой-то степени от какого-то элемента Qi и получать таким образом Qi+1 (формально говоря, Qi+1 это поле разложения многочлена xm-k, где k в Qi).
Возможно, что после какого-то числа таких расширений мы получим поле E, в котором "общее уравнение" xn + u1*xn-1 + u2*xn-2... будет раскладываться на линейные множители: (x-v1)(x-v2)....(x-vn). Иными словами, E будет включать в себя поле разложения "общего уравнения" (оно может быть больше этого поля). В таком случае мы скажем, что общее уравнение разрешимо в радикалах, потому что конструкция полей от Q0 до E дает общую формулу решения уравнения n-й степени. Можно легко показать это на примерах n=2 или n=3.
2. Пусть есть расширение E над Q(u1...un), которое включает в себя поле разложения "общего уравнения", и его корни v1...vn. Тогда можно доказать, что Q(v1...vn) изоморфно Q(x1...xn), полю рациональных функций от n неизвестных. Это та часть, которой не хватает в статье Стиллвелла, но есть в стандартных строгих доказательствах. Мы не знаем априори про v1...vn, корни общего уравнения, что они трансцедентны и незасивимы друг от друга над Q. Это надо доказать, и легко доказывается сравнением расширения Q(v1...vn) / Q(u1...un) с расширением Q(x1...xn) / Q(a1...an), где ai - симметричные многочлены от x-ов, формализующие то, как коэффициенты уравнения зависят от корней (формулы Виета). Эти два расширения оказываются изоморфными друг другу. Из того, что мы доказали про v1...vn, следует теперь, что любая перестановка v1...vn порождает автоморфизм Q(v1...vn), который таким образом перестанавливает корни.
3. Любое расширение Q(u1...un) в радикалах, которое включает в себя v1...vn, можно расширить дальше в симметричное относительно v1...vn расширение E'. Это просто: каждый раз, когда мы добавляли корень от элемента, который выражается через u1...un, а значит и через v1...vn (формулы Виета), мы добавляем вместе с ним корни всех элементов, которые получаются любыми перестановками v1...vn. В итоге E' обладает следующим свойством: любая перестановка v1...vn расширяется до автоморфизма Q(v1...vn), который расширяется до автоморфизма E', который при этом фиксирует все элементы Q(u1...un) (из-за симметричности формул Виета).
4. Теперь мы смотрим на группы Галуа расширений Gi = Gal(E'/Qi), т.е. автоморфизмы E', которые фиксируют все элементы Qi, где Qi - промежуточные поля в цепочке расширений радикалами от Q(u1...un) до E'. Стиллвелл показывает, что если добавлять всегда радикалы простой степени, и корни единицы перед другими корнями (несущественные ограничения), то легко видеть, что каждая Gi+1 является нормальной подргруппой Gi, и их фактор-группа абелева. Цепочка начинается с G0 = Gal(E'/Q(u1...un)), и сходит до 1 = Gal(E'/E'), потому что автоморфизм E', фиксирующий E' целиком, есть только один.
5. Мы знаем из пункта 3, что G0 включает в себя много автоморфизмов - для любой перестановки v1...vn есть автоморфизм в G0, расширяющий ее. Легко показать, что если n>4, и Gi включает в себя все 3-циклы (т.е. автоморфизмы, расширяющие перестановки v1...vn, которые циклично прокручивают 3 элемента), то и Gi+1 включает в себя все 3-циклы. Это противоречит тому, что цепочка заканчивается на 1, и доказывает, что не может быть цепочки расширений радикалами, начинающейся с Q(u1...un), и включающей в себя в конце поле разложения "общего уравнения".
Рекомендую эту статью тем, кто помнит основные начала высшей алгебры (что такое поле, группа, автоморфизм, нормальная подргруппа и фактор-группа), но ни разу не разбирал толком доказательство неразрешимости в радикалах.
Я посидел немного над ее текстом и повспоминал всякие вещи, и все-таки мне кажется, что кое-чего там не хватает, чтобы доказательство было полным и убедительным. Вот как, мне кажется, должен выглядеть план док-ва, в основном по Стиллвеллу, чтобы быть самодостаточным:
1. Надо прояснить, что значит "решить общее уравнение n-ной степени в радикалах". Берем n неизвестных u1...un, и строим поле Q0 = Q(u1...un) рациональных функций от этих неизвестных. Теперь мы можем это поле расширять радикалами: каждый раз добавлять корень какой-то степени от какого-то элемента Qi и получать таким образом Qi+1 (формально говоря, Qi+1 это поле разложения многочлена xm-k, где k в Qi).
Возможно, что после какого-то числа таких расширений мы получим поле E, в котором "общее уравнение" xn + u1*xn-1 + u2*xn-2... будет раскладываться на линейные множители: (x-v1)(x-v2)....(x-vn). Иными словами, E будет включать в себя поле разложения "общего уравнения" (оно может быть больше этого поля). В таком случае мы скажем, что общее уравнение разрешимо в радикалах, потому что конструкция полей от Q0 до E дает общую формулу решения уравнения n-й степени. Можно легко показать это на примерах n=2 или n=3.
2. Пусть есть расширение E над Q(u1...un), которое включает в себя поле разложения "общего уравнения", и его корни v1...vn. Тогда можно доказать, что Q(v1...vn) изоморфно Q(x1...xn), полю рациональных функций от n неизвестных. Это та часть, которой не хватает в статье Стиллвелла, но есть в стандартных строгих доказательствах. Мы не знаем априори про v1...vn, корни общего уравнения, что они трансцедентны и незасивимы друг от друга над Q. Это надо доказать, и легко доказывается сравнением расширения Q(v1...vn) / Q(u1...un) с расширением Q(x1...xn) / Q(a1...an), где ai - симметричные многочлены от x-ов, формализующие то, как коэффициенты уравнения зависят от корней (формулы Виета). Эти два расширения оказываются изоморфными друг другу. Из того, что мы доказали про v1...vn, следует теперь, что любая перестановка v1...vn порождает автоморфизм Q(v1...vn), который таким образом перестанавливает корни.
3. Любое расширение Q(u1...un) в радикалах, которое включает в себя v1...vn, можно расширить дальше в симметричное относительно v1...vn расширение E'. Это просто: каждый раз, когда мы добавляли корень от элемента, который выражается через u1...un, а значит и через v1...vn (формулы Виета), мы добавляем вместе с ним корни всех элементов, которые получаются любыми перестановками v1...vn. В итоге E' обладает следующим свойством: любая перестановка v1...vn расширяется до автоморфизма Q(v1...vn), который расширяется до автоморфизма E', который при этом фиксирует все элементы Q(u1...un) (из-за симметричности формул Виета).
4. Теперь мы смотрим на группы Галуа расширений Gi = Gal(E'/Qi), т.е. автоморфизмы E', которые фиксируют все элементы Qi, где Qi - промежуточные поля в цепочке расширений радикалами от Q(u1...un) до E'. Стиллвелл показывает, что если добавлять всегда радикалы простой степени, и корни единицы перед другими корнями (несущественные ограничения), то легко видеть, что каждая Gi+1 является нормальной подргруппой Gi, и их фактор-группа абелева. Цепочка начинается с G0 = Gal(E'/Q(u1...un)), и сходит до 1 = Gal(E'/E'), потому что автоморфизм E', фиксирующий E' целиком, есть только один.
5. Мы знаем из пункта 3, что G0 включает в себя много автоморфизмов - для любой перестановки v1...vn есть автоморфизм в G0, расширяющий ее. Легко показать, что если n>4, и Gi включает в себя все 3-циклы (т.е. автоморфизмы, расширяющие перестановки v1...vn, которые циклично прокручивают 3 элемента), то и Gi+1 включает в себя все 3-циклы. Это противоречит тому, что цепочка заканчивается на 1, и доказывает, что не может быть цепочки расширений радикалами, начинающейся с Q(u1...un), и включающей в себя в конце поле разложения "общего уравнения".