вращение как два отражения
Возьмем какое-то вращение плоскости вокруг одной точки - например, взяли и повернули всю плоскость вокруг точки O на 60° против часовой стрелки. Того же результата можно добиться, проведя одно за другим два отражения плоскости относительно двух прямых линий, проходящих сквозь ту же точку O. Это можно доказать разными способами, но самое простое и интуитивное геометрическое объяснение, которое мне пришло в голову, выглядит так.
Предположим, что мы хотим повернуть плоскость вокруг начала координат O на какой-то угол α против часовой стрелки. Но вместо того, чтобы повернуть плоскость, мы по ошибке взяли и отразили ее относительно какой-то прямой L1, например горизонтальной оси:
При таком отражении точка A, например, переходит в точку A', и наоборот. Легко видеть, что расстояние до точки O от такого отражения не меняется (OA = OA'). Однако при отражении, в отличие от вращения, разные точки перемещаются на разные углы. Мы хотим, чтобы каждая точка передвинулась на угол α против часовой стрелки, однако при отражении если точка X переходит в точку X', то угол между OX и OX' может быть самый разный. Например, если X лежит на прямой L1, относительно которой мы отражаем, то угол будет ноль градусов, потому что X=X', точка вообще не сдвинется.
Однако из этого рисунка видно, что есть точки, которым уже "повезло": те, которые лежат на луче под углом α/2 ниже горизонтальной прямой, как точка A. Точка A перешла ровно в ту точку A', куда ей нужно было попасть при вращении на угол α: отражение совместило два угла в α/2 и перенесло ее куда надо.
К сожалению, все точки, которые не лежат на этом луче, переходят куда-то в неправильные места:
Точка B лежит немного "раньше" точки A, если идти против часовой стрелки: скажем, на 5°. При вращении на угол α ей надлежит "недолететь" до точки A' на те же 5°, а вместо этого она "перелетает" на тот же угол и попадает в точку B'. Точка C, наоборот, должна "перелететь" точку A' на 5°, чтобы получилось вращение, а вместо этого отражение заставляет ее "недолететь" в точку C'.
То есть при отражении точка B переходит в B', а точка C в C'. А нам бы поменять местами их места назначения: мы бы хотели, чтобы B переходила в C', а C переходила в B', и тогда все правильно получается. Но значит, если мы сможем поменяем местами сами точки B и C, а потом сделаем отражение относительно L1, то добьемся цели! Сначала B перейдет в C, а потом отразится в C'; и тем же образом C вначале перейдет в B, а потом отразится в B'. Каждая точка окончит свой путь там, где нужно, чтобы получилось точно вращение на угол α. Как же нам поменять их местами? Но это просто: достаточно сделать первоначально отражение всей плоскости относительно прямой OA. Такое отражение как раз поменяет местами B и C (а точку A оставит на месте), после чего отражение относительно прямой L1 обеспечит ровно те "недолеты" и "перелеты", которые нам нужны, и каждая точка пропутешествует на угол α.
Мы никак не пользовались тем, что L1 именно горизонтальная прямая (кроме удобства иллюстрации). Если мы повернем сейчас весь рисунок относительно точки O, то отражение сначала относительно OA, а потом относительно L1 все равно будет давать вращение на угол α. Все, что нужно - это отразить сначала относительно одной прямой сквозь O, а потом относительно другой, составляющей с ней угол α/2 и идущей против часовой стрелки после нее. Если же отражать в обратном порядке, то, понятно, получится вращение на α по часовой стрелке, а не против.
Предположим, что мы хотим повернуть плоскость вокруг начала координат O на какой-то угол α против часовой стрелки. Но вместо того, чтобы повернуть плоскость, мы по ошибке взяли и отразили ее относительно какой-то прямой L1, например горизонтальной оси:
При таком отражении точка A, например, переходит в точку A', и наоборот. Легко видеть, что расстояние до точки O от такого отражения не меняется (OA = OA'). Однако при отражении, в отличие от вращения, разные точки перемещаются на разные углы. Мы хотим, чтобы каждая точка передвинулась на угол α против часовой стрелки, однако при отражении если точка X переходит в точку X', то угол между OX и OX' может быть самый разный. Например, если X лежит на прямой L1, относительно которой мы отражаем, то угол будет ноль градусов, потому что X=X', точка вообще не сдвинется.
Однако из этого рисунка видно, что есть точки, которым уже "повезло": те, которые лежат на луче под углом α/2 ниже горизонтальной прямой, как точка A. Точка A перешла ровно в ту точку A', куда ей нужно было попасть при вращении на угол α: отражение совместило два угла в α/2 и перенесло ее куда надо.
К сожалению, все точки, которые не лежат на этом луче, переходят куда-то в неправильные места:
Точка B лежит немного "раньше" точки A, если идти против часовой стрелки: скажем, на 5°. При вращении на угол α ей надлежит "недолететь" до точки A' на те же 5°, а вместо этого она "перелетает" на тот же угол и попадает в точку B'. Точка C, наоборот, должна "перелететь" точку A' на 5°, чтобы получилось вращение, а вместо этого отражение заставляет ее "недолететь" в точку C'.
То есть при отражении точка B переходит в B', а точка C в C'. А нам бы поменять местами их места назначения: мы бы хотели, чтобы B переходила в C', а C переходила в B', и тогда все правильно получается. Но значит, если мы сможем поменяем местами сами точки B и C, а потом сделаем отражение относительно L1, то добьемся цели! Сначала B перейдет в C, а потом отразится в C'; и тем же образом C вначале перейдет в B, а потом отразится в B'. Каждая точка окончит свой путь там, где нужно, чтобы получилось точно вращение на угол α. Как же нам поменять их местами? Но это просто: достаточно сделать первоначально отражение всей плоскости относительно прямой OA. Такое отражение как раз поменяет местами B и C (а точку A оставит на месте), после чего отражение относительно прямой L1 обеспечит ровно те "недолеты" и "перелеты", которые нам нужны, и каждая точка пропутешествует на угол α.
Мы никак не пользовались тем, что L1 именно горизонтальная прямая (кроме удобства иллюстрации). Если мы повернем сейчас весь рисунок относительно точки O, то отражение сначала относительно OA, а потом относительно L1 все равно будет давать вращение на угол α. Все, что нужно - это отразить сначала относительно одной прямой сквозь O, а потом относительно другой, составляющей с ней угол α/2 и идущей против часовой стрелки после нее. Если же отражать в обратном порядке, то, понятно, получится вращение на α по часовой стрелке, а не против.