алгебра для физиков: о числах
Мы любим всё - и жар холодных числ,
И дар божественных видений.
Александр Блок, «Скифы»
Мы начинаем изучать математику с чисел. Почти сразу оказывается, что числа бывают разных видов: большие и малые, целые и дробные, положительные и отрицательные. В средней школе, институтах и университетах люди знакомятся с такими типами чисел:
- Натуральные числа N. С их помощью можно считать объекты один за другим. Таковы 1, 10, 1000, 137 и многие другие.
Натуральные числа можно сравнивать. Так, 1<2<3<137<1024. Для любого натурального числа можно придумать следующее (которое больше), добавив единицу. Поэтому наибольшего натурального числа нет.
Натуральные числа можно складывать друг с другом - результат будет натуральным числом (говорят, что N замкнуто по сложению или что сложение - операция). То же относится к умножению натуральных чисел. Вычитание и деление натуральных чисел не всегда приводят к результату того же рода.
Наособицу стоит нуль 0, который позволяет «считать объекты, если их нет». Удобно отнести 0 к натуральным числам - сложение и умножение остаются операциями. 0 оказывается наименьшим натуральным числом.
- Целые числа Z. Это натуральные числа и противоположные им: 1, -1, -16, 0, 32…
Они позволяют продолжить натуральный ряд «вниз». Таким образом, наименьшего целого числа не существует, наибольшего целого числа не существует тож.
Целые числа можно складывать и умножать, можно вычитать одно целое из другого. Деление в Z опять-таки не операция - в общем случае получится остаток.
- Неположительные целые числа (-N). Они замкнуты по сложению, но не по вычитанию, умножению и делению. Неположительные целые числа упорядочены, есть наибольшее неположительное число 0, но наименьшего неположительного числа не существует.
- Рациональные числа Q. Они возникают из желания всё-таки делить целые числа друг на друга. На нуль делить нельзя (таким образом, деление не операция в Q), но для остальных знаменателей всё-таки получается составить дробь!
Рациональные числа - это именно отношения подходящих целых чисел. Выражения 0, 0/1, 0/2, 0/10 задают одно и то же число. Выражения 1/2,(-1)/(-2), 3/6 задают одно и то же число. Другое дело, что для рационального числа можно выбрать определённую удобную форму записи.
Ещё один источник неоднозначности - представление рациональных чисел в форме с плавающей точкой. Так, 1/2=0.5=0.500. Q состоит из периодических дробей, в этом примере можно записать 1/2=0.5(0) или 1/2=0.4(9) - обе формы задают одно и то же.
Рациональные числа замкнуты по сложению, умножению и вычитанию. Их можно упорядочить, «продолжив» порядок целых чисел. Так, -1 < ( -1/2) < (-2/7) < 0.
- Действительные числа R. Грубо говоря, это числа, которые можно записать сколь угодно точно в форме с плавающей точкой. Подлинное значение действительного числа - дробь (неважно, периодическая или непериодическая). Таковы числа 0, 1, -7/8, π, -√2.
Действительные числа можно упорядочить, «продолжив» порядок рациональных чисел. Так, 3<3.1<π<3.2.
R замкнуто по сложению, вычитанию и умножению. Незамкнутость по делению происходит опять-таки из-за невозможности для нуля быть в знаменателе. Это поразительно напоминает свойства операций в Q.
- Комплексные числа C. Эти объекты представляются парами действительных чисел: действительной и мнимой частью комплексного числа.
Они позволяют решать алгебраические уравнения, «расширяя» R. Например, не существует действительного числа, которое было бы решением уравнения
x^2+1=0
В то же время это уравнение имеет два комплексных решения x_1=i, x_2=-i.