Задачка с водяными кубами под разным давлением
Давно я не постил у себя ничего научного, пусть даже научно-познавательного уровня.
Недавеча в голову пришла задачка одна. Я её решил достаточно легко, но обнаружил интересную вещь - многие из моих коллеги по работе, инженеров, не смогли решить эту задачу. А те, которые смогли это сделать - сделали это для простого случая при этом используя неверные (!) подходы к решению. Т.е. большей частью сделали это за счёт интуиции.
Тут я решил, что неплохо бы запостить эту задачу и несколько способов её решения в этих самых инторнетах. =) Собственно, я делаю это так же в надежде, что один из моих коллег прочтёть этот опус и поймёт ход решения.
Итак, рассмотрим следующую, на первый взгляд, достаточно простую задачку.
Имеется два объёма (для простоты можно представить, что это, например, кубы), ёмкостью 1 и 3 литра. Первый куб заполнен водой под давлением 5 атмосфер, а второй - с давлением в 1 атмосфер. Температура воды в обеих ёмкостях одинаковая. Имеется система, незначительного, по сравнению с кубами, объёма и высокой жесткостью, которая позволяет кубам соединиться и обменяться жидкостью и соответствующими давлениями фактически без потерь.
Внимание, вопрос: какое равновесное давление восстановиться в кубах после того, как будет приведена в действие соединительная система?
Ниже будет приведено 3 варианта решения этой задачи: с помощью термодинамики, механики сплошных сред и статистической физики. Однако я предлагаю читателям сначала самим подумать над возможными подходами к решению этой «школьной» задачки.
Замечание. Если бы объёмы кубов были одинаковыми, то можно было бы применить простейший подход к решению на основе «обывательской» логики и «житейского» опыта - объёмы должны обмениваться давлением и жидкостью (от большего к меньшему значению) до тех пор, пока они (давления) не выровнялись бы - принцип равновесия при заполнении газом одного бака другим. Т.е. разность начальных давлений должна была бы разделиться поровну между объёмами - (5 атм. - 1 атм.) / 2 = 2 атм. Значит изменения в баках 5 атм. - 2 атм. = 3 атм., 1 атм. + 2 атм. = 3 атм. Легко и просто, казалось бы. Подобные соображения и позволили многим решить задачу. Однако с разными объёмами такое не проходит, в чём вы убедитесь в дальнейшем.
И ещё раз - прежде, чем смотреть ответы предлагаю вам самостоятельно попробовать решить поставленную задачу любым удобным для вас способом. Полагаю, что можно будет получить гораздо больше удовольствия, сравнив свой ответ и метод решения с нижеизложенными. Даже если получиться так, что вы ошиблись, то это всё равно позволит сравнить ваш ход решения с моими, которые (как я думаю) являются вполне аккуратными и, соответственно, точными. =)
Термодинамический метод решения. Данный метод решения является наиболее простым и очевидным, т.к. рассматриваемая нами система является замкнутой. Решение полностью строится на первом законе термодинамики, а именно - на законе сохранения энергии термодинамической системы, коей является система из связанных кубов. То есть сумма энергий отдельно взятых кубов до объединения будет равна энергии установившегося состояния системы из объединённых кубов. Из условия постановки задачи понятно, что теплота сохраняется. Поэтому можно считать, что энергия системы пропорциональна термодинамической работе, т.е.
U = p*V.
И, следовательно, закон сохранения будет иметь вид
U = p*V = U1+U2 = p1*V1+p2*V2,
где V=V1+V2. Отсюда давление будет выражаться как
p = (p1*V1+p2*V2)/(V1+V2) = p1*V1/(V1+V2)+p2*V2/(V1+V2).
Наконец результирующее давление будет равно
p = (1*5 + 3*1)/(1 + 3)=2 (атм.).
Как видно, данное решение не совпадает с «интуитивно» полученным решением в 3 атм. как раз таки из-за несовпадения объёмов.
Решение на основе механики сплошных сред. Тоже относительно простой метод решения, т.к. для механики сплошных сред действует аналогичный закон сохранения энергии, в данном случае это потенциальная энергия деформации
U = u*V,
где u - механическое напряжение в среде, V - объём среды. После объединения объёмов полная потенциальная энергия будет равно сумме потенциальных энергий механических напряжений в каждом отдельном кубе, т.е.
U = u*V = U1+U2= u1*V1+u2*V2,
откуда выражения для установившегося механического напряжения
u = (u1*V1+u2*V2)/(V1+V2).
Теперь осталось вспомнить, что для жидких сред тензор механических напряжений является симметричным и сферическим (шаровым), т.е. описывает скалярное поле давлений и получится такое же выражения, как и выше. Таким образом, в этом случае получаются те же яйца, только вид сбоку. Однако в механике сплошных сред можно прийти к полученному выражению и с помощью закона сохранения средней плотности (считаем, что масса воды и полный объём системы не меняется при объединении), означающее то, что прирост внутреннего объёма жидкости (относительно некоторого фиксированного внутреннего объёма жидкости, например, при нормальных условиях) в объединённой системе будет равна сумме приростов объёмов жидкостей до объединения
dV = dV1 + dV2.
и с помощью закона Гука
u = K*e = K*dV/V,
где K - объёмный модуль упругости, e - объёмная деформация. Откуда получается
K*dV*(V1+V2)/(V1+V2) = u*(V1+V2) = K*dV1*V1/V1 + K*dV2*V2/V2 = u1*V1+u2*V2.
Решение на основе статистической физики. Этот подход позволяет составить уравнение сразу, но, несмотря на кажущуюся простоту, на самом деле требует серьёзного анализа для доказательства её верности (который, естественно, здесь будет опущен). Идея такова: вероятности нахождения молекулы после объединения в первом и, соответственно, втором объёмах определяется как геометрические соотношения
pr1 = V1/(V1+V2)
и
pr2 = V2/(V1+V2).
В первом объёме находятся молекулы воды с вероятностью pr1, характеризующие давление p1. Аналогично во втором объёме. После объединения общее давление будет определяться как математическое ожидание
p = (pr1*p1 + pr2*p2)/(pr1 + pr2) = pr1*p1 + pr2*p2 = p1*V1/(V1+V2)+p2*V2/(V1+V2).
Кажется, что полученное решение здесь притянуто за уши. Однако это не так. Всё благодаря изолированности (замкнутости) системы. Дело в том, что сразу в первый момент после объединения давления, в недавно выделенных объёмах, будут определяться их первоначальными значениями, а их вероятности - геометрическими соотношениями. Позже вероятности и давления уже будут определяться другим образом, однако средние величины даже после переходных процессов сохраняться - процесс будет эргодическим. Это свойство и позволяет определить решения в виде уравнения для математического ожидания.
Вот и всё. Надеюсь, вам было интересно. =)
Будут рад услышать все ваши замечания, т.к. вполне не исключено, что я упустил какой-то момент или выразился некорректно. Ошибки делают нас людьми, а разумными людьми нас делает возможность их осознать, принять и исправить. ;)
Недавеча в голову пришла задачка одна. Я её решил достаточно легко, но обнаружил интересную вещь - многие из моих коллеги по работе, инженеров, не смогли решить эту задачу. А те, которые смогли это сделать - сделали это для простого случая при этом используя неверные (!) подходы к решению. Т.е. большей частью сделали это за счёт интуиции.
Тут я решил, что неплохо бы запостить эту задачу и несколько способов её решения в этих самых инторнетах. =) Собственно, я делаю это так же в надежде, что один из моих коллег прочтёть этот опус и поймёт ход решения.
Итак, рассмотрим следующую, на первый взгляд, достаточно простую задачку.
Имеется два объёма (для простоты можно представить, что это, например, кубы), ёмкостью 1 и 3 литра. Первый куб заполнен водой под давлением 5 атмосфер, а второй - с давлением в 1 атмосфер. Температура воды в обеих ёмкостях одинаковая. Имеется система, незначительного, по сравнению с кубами, объёма и высокой жесткостью, которая позволяет кубам соединиться и обменяться жидкостью и соответствующими давлениями фактически без потерь.
Внимание, вопрос: какое равновесное давление восстановиться в кубах после того, как будет приведена в действие соединительная система?
Ниже будет приведено 3 варианта решения этой задачи: с помощью термодинамики, механики сплошных сред и статистической физики. Однако я предлагаю читателям сначала самим подумать над возможными подходами к решению этой «школьной» задачки.
Замечание. Если бы объёмы кубов были одинаковыми, то можно было бы применить простейший подход к решению на основе «обывательской» логики и «житейского» опыта - объёмы должны обмениваться давлением и жидкостью (от большего к меньшему значению) до тех пор, пока они (давления) не выровнялись бы - принцип равновесия при заполнении газом одного бака другим. Т.е. разность начальных давлений должна была бы разделиться поровну между объёмами - (5 атм. - 1 атм.) / 2 = 2 атм. Значит изменения в баках 5 атм. - 2 атм. = 3 атм., 1 атм. + 2 атм. = 3 атм. Легко и просто, казалось бы. Подобные соображения и позволили многим решить задачу. Однако с разными объёмами такое не проходит, в чём вы убедитесь в дальнейшем.
И ещё раз - прежде, чем смотреть ответы предлагаю вам самостоятельно попробовать решить поставленную задачу любым удобным для вас способом. Полагаю, что можно будет получить гораздо больше удовольствия, сравнив свой ответ и метод решения с нижеизложенными. Даже если получиться так, что вы ошиблись, то это всё равно позволит сравнить ваш ход решения с моими, которые (как я думаю) являются вполне аккуратными и, соответственно, точными. =)
Термодинамический метод решения. Данный метод решения является наиболее простым и очевидным, т.к. рассматриваемая нами система является замкнутой. Решение полностью строится на первом законе термодинамики, а именно - на законе сохранения энергии термодинамической системы, коей является система из связанных кубов. То есть сумма энергий отдельно взятых кубов до объединения будет равна энергии установившегося состояния системы из объединённых кубов. Из условия постановки задачи понятно, что теплота сохраняется. Поэтому можно считать, что энергия системы пропорциональна термодинамической работе, т.е.
U = p*V.
И, следовательно, закон сохранения будет иметь вид
U = p*V = U1+U2 = p1*V1+p2*V2,
где V=V1+V2. Отсюда давление будет выражаться как
p = (p1*V1+p2*V2)/(V1+V2) = p1*V1/(V1+V2)+p2*V2/(V1+V2).
Наконец результирующее давление будет равно
p = (1*5 + 3*1)/(1 + 3)=2 (атм.).
Как видно, данное решение не совпадает с «интуитивно» полученным решением в 3 атм. как раз таки из-за несовпадения объёмов.
Решение на основе механики сплошных сред. Тоже относительно простой метод решения, т.к. для механики сплошных сред действует аналогичный закон сохранения энергии, в данном случае это потенциальная энергия деформации
U = u*V,
где u - механическое напряжение в среде, V - объём среды. После объединения объёмов полная потенциальная энергия будет равно сумме потенциальных энергий механических напряжений в каждом отдельном кубе, т.е.
U = u*V = U1+U2= u1*V1+u2*V2,
откуда выражения для установившегося механического напряжения
u = (u1*V1+u2*V2)/(V1+V2).
Теперь осталось вспомнить, что для жидких сред тензор механических напряжений является симметричным и сферическим (шаровым), т.е. описывает скалярное поле давлений и получится такое же выражения, как и выше. Таким образом, в этом случае получаются те же яйца, только вид сбоку. Однако в механике сплошных сред можно прийти к полученному выражению и с помощью закона сохранения средней плотности (считаем, что масса воды и полный объём системы не меняется при объединении), означающее то, что прирост внутреннего объёма жидкости (относительно некоторого фиксированного внутреннего объёма жидкости, например, при нормальных условиях) в объединённой системе будет равна сумме приростов объёмов жидкостей до объединения
dV = dV1 + dV2.
и с помощью закона Гука
u = K*e = K*dV/V,
где K - объёмный модуль упругости, e - объёмная деформация. Откуда получается
K*dV*(V1+V2)/(V1+V2) = u*(V1+V2) = K*dV1*V1/V1 + K*dV2*V2/V2 = u1*V1+u2*V2.
Решение на основе статистической физики. Этот подход позволяет составить уравнение сразу, но, несмотря на кажущуюся простоту, на самом деле требует серьёзного анализа для доказательства её верности (который, естественно, здесь будет опущен). Идея такова: вероятности нахождения молекулы после объединения в первом и, соответственно, втором объёмах определяется как геометрические соотношения
pr1 = V1/(V1+V2)
и
pr2 = V2/(V1+V2).
В первом объёме находятся молекулы воды с вероятностью pr1, характеризующие давление p1. Аналогично во втором объёме. После объединения общее давление будет определяться как математическое ожидание
p = (pr1*p1 + pr2*p2)/(pr1 + pr2) = pr1*p1 + pr2*p2 = p1*V1/(V1+V2)+p2*V2/(V1+V2).
Кажется, что полученное решение здесь притянуто за уши. Однако это не так. Всё благодаря изолированности (замкнутости) системы. Дело в том, что сразу в первый момент после объединения давления, в недавно выделенных объёмах, будут определяться их первоначальными значениями, а их вероятности - геометрическими соотношениями. Позже вероятности и давления уже будут определяться другим образом, однако средние величины даже после переходных процессов сохраняться - процесс будет эргодическим. Это свойство и позволяет определить решения в виде уравнения для математического ожидания.
Вот и всё. Надеюсь, вам было интересно. =)
Будут рад услышать все ваши замечания, т.к. вполне не исключено, что я упустил какой-то момент или выразился некорректно. Ошибки делают нас людьми, а разумными людьми нас делает возможность их осознать, принять и исправить. ;)