Классический доктор Хаос и квантовый генерал Бардак
Итак, если у вас в хозяйстве завалялся лишний атом водорода и магнитик на в холодильнике с индукцией тесл этак на шесть, вы сможете соорудить простейшую систему с квантовым хаосом. Если просто поместить атом водорода в магнитное поле, то с классической точки зрения(тм) с электроном в нем будет происходить унылая ларморовская прецессия, а на самом деле - еще более унылый эффект Зеемана. Но вот если разобрать атом на запчасти, а потом легонькую деталь (т.е. электрон) начать швырять вдоль магнитного поля по направлению к тяжелой (т.е. протону), будут получатся вот такие забавные картинки (не забудьте прикрепить к электрону красную дымовую шашку, а невидимый протон подвесить на невидимой веревочке в центре решетчатого ящика, без этого ничего не выйдет!) :
Зеленые стрелочки как бы показывают нам первоначальное направление движения электрона, которое (повторение - мать ученья) взято совпадающим с направлением вектора индукции магнитного поля.
Столь разные траектории получились при том, что прицельные параметры электрона отличались всего на половину одной тысячной процента (прицельный параметр, в переводе на язык, понятный политически активным блоггерам - это расстояние между головой врага народа и той точкой на стене, на которую направлен ваш маузер). Вот это и есть Хаос по определению специализирующейся на нем науки: две изначально очень близкие траектории за конечное время сильно разбегаются. Замечательно в данном конкретном случае то, что и движение электрона в магнитном поле в отсутствии протона, и движение электрона в кулоновском поле протона в отсутствии магнитного поля - примеры порядка, электроны ходят строем, соответственно, спиралями и гиперболами. Поэтому, раньше чем задаваться вопросом, откуда тут хаос, вникнем, когда в классических системах бывает порядок.
А порядок бывает тогда, когда существуют какие то физические величины, которые сохраняются при движении, т.н. интегралы движения (не путайте с теми интегралами, которые губят креативность школьников по мнению Фурсенко - у них нет практически ничего общего). Самым известным в народе интегралом движения является полная энергии (из чего мы с грустью заключаем, что интегралы движения, так же как и обычные, убивают креативность школьников, мешая инновационной деятельности молодежи в области создания вечных двигателей первого рода). В свою очередь, интегралы движения существуют тогда, когда уравнения движения не меняются при каком то преобразовании, или, на птичьем языке, у уравнений есть какая то симметрия. Например, полная энергия сохраняется тогда, когда вид уравнений не меняется при изменении начала отчета времени, а то что полная энергия не меняется в любой замкнутой системе - есть следствие однородности времени. Возвращаясь к одинокому электрону в магнитном поле - у него, из-за постоянства магнитного поля, конечно, сохраняется энергия. Из за однородности магнитного поля также отдельно сохраняется поперечная энергия, проекция импульса электрона на направление вектора индукции магнитного поля, а из за симметричности системы относительно поворота вокруг направления вектора индукции еще сохраняется проекция момента импульса на тот же могучий вектор. Таким образом, на три степени свободы электрона у нас приходится четыре независимых интеграла движения. Когда число интегралов движения совпадает с числом степеней свободы, такие системы называются интегрируемыми, для них можно найти решение уравнений движения (аналитически или хотя бы в квадратурах, но не думайте об этом), и в них царит порядок. Когда число интегралов больше чем число степеней свободы, система называется суперинтегрируемой. С электроном в поле протона ситуация еще более забавна, на три степени свободы у него приходится пять независимых интегралов движения: полная энергия, момент импульса, и еще вектор Рунге-Ленца, это т.н. максимально суперинтегрируемая система.
Теперь соберем все вместе - и протон, и магнитное поле. Вблизи протона кулоновское поле будет доминировать, и электрон будет двигаться по гиперболе. Вдали от протона доминирует магнитное поле, и электрон движется по спирали, усложненной тем, что на продольное движение электрона магнитное поле никак не влияет, и компонентой кулоновской силы, направленной вдоль магнитного поля, нельзя пренебречь даже на большом расстоянии от протона. То есть, проекция импульса на эту ось перестает сохранятся, но для утешения нам остаются сохраняющиеся энергия и проекция момента импульса, и приближенно сохраняющаяся поперечная энергия. То есть 3(три) интеграла движения таки есть, хотя и приближенно, и пока электрон вдали от протона - система останется интегрируемой (именно в этом главный гешефт от суперинтегрируемых систем - при наложения дополнительных полей они могут оставаться интегрируемыми, более радикальный пример: при наложении на атом водорода электрического поля перестает сохранятся момент импульса, но по прежнему сохраняется вектор Рунге-Ленца, так что система остается не приближенно, как с магнитным полем, а точно интегрируемой, и хаоса в ней не возникает). Поэтому процесс выглядит так: при пролете мимо протона электрон заворачивается кулоновским полем вбок, но улететь на бесконечность в этом направлении ему мешает магнитное поле, заставляя его ходить кругами в плоскости xOy. Если слишком много энергии перераспределится на поперечную степень свободы, то вдоль оси Oz его завернет назад кулоновское поле (вот так на картинках появились спирали со сгущениями на концах), и вернется назад к протону (что со свободным электроном в кулоновском поле не бывает), где опять произойдет перераспределение энергии между продольной и поперечной степенями свободы, и так до тех пор, пока при очередном проходе он не получит количество продольной энергии, достаточное чтобы окончательно удрать от протона. Естественно, после таких многократных "подбрасываний монетки" электрон практически забывает свое прошлое, вот откуда тут есть пошел хаос.
Внимательный и культурный читатель после всего вышесказанного может спросить: "Да вы чо, офигели, ведь траекторий у квантовых объектов не бывает?". Ну, начнем с того, что траектории нарисовать можно всегда, просто в квантовой механике все эти траектории интерферируют. А во вторых, если перейти к чисто квантовомеханическому описанию, все выглядит даже проще. В магнитном поле поперечная энергия электрона квантуется, и появляются т.н. уровни Ландау. При пролете мимо протона электрон с определенной вероятностью может перескакивать между этими уровнями, и если заскочит слишком высоко, поперечной энергии опять таки не хватит на улет вдоль оси Oz, и опять таки кулоновское поле заворачивает электрон назад. Волновая функция, точнее ее разложение по двум нижним уровням Ландау, выглядит так:
Красная кривая изображает волновую функцию электрона на нижнем уровне, приходящего из бесконечности и уходящего на бесконечность, а желтозеленая - волновая функция, отражающая факт его временного присутствия на верхнем уровне, обратите внимание, что вдали от центра она обращается в ноль. Если сделать наоборот, то есть поместить электрон на верхний уровень Ландау, то он там будет сидеть достаточно долго, прежде чем свалится на нижний уровень и улетит на бесконечность. То есть, у электрона в кулоновском и магнитном поле кроме связанных состояний и свободных состояний будут иметься промежуточные, квазистационарные состояния. Например, если у нас сначала был обычный атом водорода, никому не мешал, а потом мы вдарили по нему лазерным импульсом, электрон оторвался, но при этом, подобно героям американских фильмов, после падения с обрыва хватающихся за растущий на склоне куст, может оказаться на возбужденном уровне Ландау, и там еще немного повисеть с воплями "Вытащите меня!", прежде чем сорваться вниз.
Теперь мы уже морально созрели для того, чтобы поглядеть на малопривлекательное лицо квантового хаоса:
Это количество ионизированных светом атомов водор..., ну ладно, лития в магнитном поле с индукцией 6 тесл в зависимости от энергии фотонов этого самого света (к источнику можете прийти, щелкнув на картинку). Главной проблемой квантового хаоса является то, что с точки зрения нелинейной динамики его, собственно, не существует: уравнение Шредингера линейно. Соответственно, чаще всего квантовым хаосом называют то, что происходит в квантовых системах, в классическом аналоге которых наблюдается хаос. Атом водорода в магнитном поле является простейшей из таких систем, ну во всяком случае из существующих в дикой природе. Более частное, но отвязанное от классической физики определение квантового хаоса: квантовый хаус хаос - это когда зависимость времен жизни квазистационарных состояний от номеров квазистационарных состояний является случайной. Квазистационарные состояния на картинке проявляются в виде пиков, а ширины этих пиков обратно пропорциональны временам их жизни (вообще то конкретно на этой картинке ширины ничему не пропорциональны, поскольку линии уширены из за эффекта Доплера (при ненулевой температуре движутся ведь не только электроны, но центры масс атомов), так что в поисках хаоса лучше смотреть на высоту пиков, высоты зависят от вероятности найти электрон с угловым моментом l=1 вблизи ядра, которая от номера квазистационарного состояния зависит... ну вы поняли).