Геометрическая задача 001 - решение
День самоуправления 5. Моё задание:
Решите геометрическую задачу.
Дан параллелограмм GHKJ, из точек G и K к серединам сторон GJ и KJ проведены отрезки GI и KL. Площадь четырёхугольника GHKM равна 1.
Найти площадь парллелограмма.
Решение:
Шаг 1. Обратим внимание, что четырёхугольники MGHK и MIJL похожи. Не подобны ли они?
Шаг 2. Проведём диагональ параллелограмма, которая разобьёт эти четырёхугольники на треугольники. Теперь доказательство подобия черырёхугольников с водится к доказательству подобия треугольников.
Шаг 3. Докажем, что треугольники MIJ и MGH подобны:
углы IMJ и GMH равны, как вертикальные;
углы JIM и HGM равны, как накрест лежащие.
Шаг 4. Докажем, что треугольники MJL и MHK подобны:
углы LMJ и KMH равны, как вертикальные;
углы LJM и GHM равны, как накрест лежащие.
Шаг 5. Определим коэффициент подобия. Длина отрезка IJ в два раза меньше длины отрезка GH по условию задачи. Следовательно, коэффициент подобия равен 0,5.
Шаг 6. Определим площадь четырёхугольника MIJL. Если линейные размеры различаются в два раза, то площади - в четыре. Следовательно, площадь четырёхугольника MIJL равна 0,25.
Шаг 7. Найдём площадь треугольников GLM и IKM:
площади треугольников GLM и LMJ равны, так как равны основания (по условию задачи) и высоты (так как вершина M общая);
площади треугольников IKM и IMJ равны, так как равны основания (по условию задачи) и высоты (так как вершина M общая);
следовательно сумма площадей треугольников GLM и IKM равна площади четырёхугольника MIJL, то есть 0,25.
Шаг 8. Площадь параллелограмма равна 1+0,25+0,25=1,5.
Ответ
Площадь парллелограмма равна 1,5.