Легче весишь - быстрее будешь! (о весовых категориях в картинге)
В продолжение темы картинга...
Разглядывая табличку рекордов на сайте картинг-клуба, заметил, что среди абсолютных чемпионов довольно много детей, особенно для малосильных картов. Возникло подозрение, что это может быть связано с тем, что у детей есть фора в плане веса - килограмм эдак 20-40, как минимум!
Ну что, прекрасный повод наморщить ум и вспомнить первый курс института! :)
(для тех, кто не любит нудные формулы - результат в конце)
Итак, поехали!
ДАНО:
Карт с суммарной массой m (карт + пилот).
Мощность двигателя - P.
НАЙТИ:
За какое время T карт проедет прямую трассу длиной L?
РЕШЕНИЕ:
По определению работы: A = F * S, где A - работа, F - сила, S - путь
Дифференцируя по времени, получаем:
P = F * v, где v - скорость
По второму закону Ньютона: F = m * a, где a - ускорение карта.
Подставляя, получаем:
P = m * a * v
Ускорение по-определению связано со скоростью соотношением: a = dv/dt.
Подставляем, получаем:
(P / m) * dt = v * dv
После интегрирования:
(P/m) * t = v^2 / 2
Т.е. получаем следующую зависимость скорости карта от времени:
v(t) = SQRT(2*P*t/m)
Теперь найдём зависимость пройденного пути S(t):
По определению: v = dS/dt
Подставляя в формулу выше, получаем:
dS = SQRT(2*P/m) * SQRT(t)*dt
Интегрируя, получаем:
S(t) = SQRT(2*P/m) * 2/3*t^(3/2)
Таким образом, искомое время T для пути L будет определяться формулой:
T = [(3/2) * L / SQRT(2 * P / m)] ^ (2/3), где L - длина трассы (м), P - мощность движка (Вт), m - суммарная масса карта и пилота (кг)
Готово!
Теперь подставим в формулу числовые данные для разных весовых категорий пилота:
Вариант1:
Масса пустого карта - 100 кг, масса пилота - 40 кг, мощность двигателя - 4 кВт (5,5 л.с.), L=350м (цифра взята от трассы в "10 Дюймах").
Тогда T = [3/2*350/SQRT(2*4000/140)]^(2/3) = 16,90 сек.
Вариант2:
То же, но масса пилота - 60 кг:
Тогда T = [3/2*350/SQRT(2*4000/160)]^(2/3) = 17,67 сек. (+0,77 сек.)
Вариант3:
То же, но масса пилота - 80 кг:
Тогда T = [3/2*350/SQRT(2*4000/180)]^(2/3) = 18,37 сек. (+0,70 сек.)
Итак, вывод: ребёнок весом 40 кг проедет такую трассу примерно на 1,5 секунды (10%) быстрее взрослого весом 80 кг.
Для изогнутой трассы порядок цифр будет примерно таким же, т.к. её можно разбить на несколько кусочков с суммарной длиной L, и на каждом из них у ребёнка будет примерно 10%-е преимущество по времени.
Разглядывая табличку рекордов на сайте картинг-клуба, заметил, что среди абсолютных чемпионов довольно много детей, особенно для малосильных картов. Возникло подозрение, что это может быть связано с тем, что у детей есть фора в плане веса - килограмм эдак 20-40, как минимум!
Ну что, прекрасный повод наморщить ум и вспомнить первый курс института! :)
(для тех, кто не любит нудные формулы - результат в конце)
Итак, поехали!
ДАНО:
Карт с суммарной массой m (карт + пилот).
Мощность двигателя - P.
НАЙТИ:
За какое время T карт проедет прямую трассу длиной L?
РЕШЕНИЕ:
По определению работы: A = F * S, где A - работа, F - сила, S - путь
Дифференцируя по времени, получаем:
P = F * v, где v - скорость
По второму закону Ньютона: F = m * a, где a - ускорение карта.
Подставляя, получаем:
P = m * a * v
Ускорение по-определению связано со скоростью соотношением: a = dv/dt.
Подставляем, получаем:
(P / m) * dt = v * dv
После интегрирования:
(P/m) * t = v^2 / 2
Т.е. получаем следующую зависимость скорости карта от времени:
v(t) = SQRT(2*P*t/m)
Теперь найдём зависимость пройденного пути S(t):
По определению: v = dS/dt
Подставляя в формулу выше, получаем:
dS = SQRT(2*P/m) * SQRT(t)*dt
Интегрируя, получаем:
S(t) = SQRT(2*P/m) * 2/3*t^(3/2)
Таким образом, искомое время T для пути L будет определяться формулой:
T = [(3/2) * L / SQRT(2 * P / m)] ^ (2/3), где L - длина трассы (м), P - мощность движка (Вт), m - суммарная масса карта и пилота (кг)
Готово!
Теперь подставим в формулу числовые данные для разных весовых категорий пилота:
Вариант1:
Масса пустого карта - 100 кг, масса пилота - 40 кг, мощность двигателя - 4 кВт (5,5 л.с.), L=350м (цифра взята от трассы в "10 Дюймах").
Тогда T = [3/2*350/SQRT(2*4000/140)]^(2/3) = 16,90 сек.
Вариант2:
То же, но масса пилота - 60 кг:
Тогда T = [3/2*350/SQRT(2*4000/160)]^(2/3) = 17,67 сек. (+0,77 сек.)
Вариант3:
То же, но масса пилота - 80 кг:
Тогда T = [3/2*350/SQRT(2*4000/180)]^(2/3) = 18,37 сек. (+0,70 сек.)
Итак, вывод: ребёнок весом 40 кг проедет такую трассу примерно на 1,5 секунды (10%) быстрее взрослого весом 80 кг.
Для изогнутой трассы порядок цифр будет примерно таким же, т.к. её можно разбить на несколько кусочков с суммарной длиной L, и на каждом из них у ребёнка будет примерно 10%-е преимущество по времени.