Задача про самолёт - продолжение
Поскольку страсти до сих пор не утихают, то в дополнение к первому посту выложу копию толкового решения от skeptik_ из форума RSDN:
==
Сначала упростим физическую модель: вместо транспортёра введём бесконечно длинное тело с массой Мт, по которому движется диск с массой М ( колесо ), причём масса Мк равномерно распределена по диску (колесо), а остальная масса сосредоточена в материальной точке в центре диска ( масса самолёта без колёс ), такая модель идентична модели самолёта если трение в подшипниках колеса принять равной нулю.
На центр колеса параллельно плоскости транспортёра действует сила Fc (тяга самолёта), найти силу Ft с которой нужно действовать на тело Мт, чтобы ось колеса была неподвижна. ( Смотрите рисунок )
Записываем суммы сил действующих на каждое тело, что равно изменению импульса, и суммы моментов сил, которые равны изменению угловой скорости на момент инерции. Кроме того записываем уравнения связи, ( расписывая сразу по координатам )
для транспортёра имеем: Ft - Fr = Mt*At ( где Fr - сила с которой самолёт действует на транспортёр, At - ускорение транспортёра )
для диска имеем: M*Aс = Fr - Fс ( где Aс - ускорение оси самолёта ) и
Мк*R*R*(dw/dt)/2 = Fr*R ( где R - радиус диска, (dw/dt) - угловое ускорение.
Уравнение связи: R*(dw/dt) = At - Aс.
Вот и всё, решая эти уравнения находим Ft = Fc*(1 + 2*Mt/Mk ), At = 2*Fs/Mk, Fr = Fs. Так что если мы в состоянии ускорять транспортёр с этим немаленьким ускорением 2*F/m, то самолёт стоит на месте.
По сути дела вся энергия двигателя уходит на раскрутку колёс, релятивистскими эффектами я пренебрёг.
==
UPD:
Поскольку постановка задачи весьма неоднозначна, то необходимо уточнить, что в этом и предыдущем постах вопрос задачи интерпретировался примерно так: "Сможет ли транспортёр сопротивляться взлёту самолёта? И, если да, то до какой степени?"
Соответственно, ответы на эти два вопроса, на мой взгляд, такие:
1) Да, сможет.
2) Если абстрагироваться от "спецэффектов" (конечная прочность колёс, суровейшие требования к транспортёру, и т.п.), то взлёт в таких условиях будет эквивалентен взлёту с заблокированными (=идущими юзом) колёсами. И тут исход будет зависеть от тяговооружённости самолёта: у ТУ-154 шансов нет, а некоторые военные, говорят, взлетают.
В реальной жизни, даже если сконструировать такой транспортёр, то в первые же секунды возникнут упомянутые выше "спецэффекты" и возможный исход будет таким: Несущаяся с диким ускорением лента будет создавать встречный ветер. А поскольку речь идёт о скоростях ленты порядка километров в секунду, то ветер будет неслабый и, уж если не приведёт напрямую к взлёту самолёта, то за счёт подъёмной силы ослабит контакт колёс с лентой. Кроме этого, из-за быстрого вращения будет нарастать эффект "аэропланирования" колёс, когда между покрышками и лентой возникнет прослойка воздуха. Как только этот момент наступит - самолёт неминуемо взлетит. Главное, чтобы колёса/подшипники выдержали нештатные скорости вращения.
==
Сначала упростим физическую модель: вместо транспортёра введём бесконечно длинное тело с массой Мт, по которому движется диск с массой М ( колесо ), причём масса Мк равномерно распределена по диску (колесо), а остальная масса сосредоточена в материальной точке в центре диска ( масса самолёта без колёс ), такая модель идентична модели самолёта если трение в подшипниках колеса принять равной нулю.
На центр колеса параллельно плоскости транспортёра действует сила Fc (тяга самолёта), найти силу Ft с которой нужно действовать на тело Мт, чтобы ось колеса была неподвижна. ( Смотрите рисунок )
Записываем суммы сил действующих на каждое тело, что равно изменению импульса, и суммы моментов сил, которые равны изменению угловой скорости на момент инерции. Кроме того записываем уравнения связи, ( расписывая сразу по координатам )
для транспортёра имеем: Ft - Fr = Mt*At ( где Fr - сила с которой самолёт действует на транспортёр, At - ускорение транспортёра )
для диска имеем: M*Aс = Fr - Fс ( где Aс - ускорение оси самолёта ) и
Мк*R*R*(dw/dt)/2 = Fr*R ( где R - радиус диска, (dw/dt) - угловое ускорение.
Уравнение связи: R*(dw/dt) = At - Aс.
Вот и всё, решая эти уравнения находим Ft = Fc*(1 + 2*Mt/Mk ), At = 2*Fs/Mk, Fr = Fs. Так что если мы в состоянии ускорять транспортёр с этим немаленьким ускорением 2*F/m, то самолёт стоит на месте.
По сути дела вся энергия двигателя уходит на раскрутку колёс, релятивистскими эффектами я пренебрёг.
==
UPD:
Поскольку постановка задачи весьма неоднозначна, то необходимо уточнить, что в этом и предыдущем постах вопрос задачи интерпретировался примерно так: "Сможет ли транспортёр сопротивляться взлёту самолёта? И, если да, то до какой степени?"
Соответственно, ответы на эти два вопроса, на мой взгляд, такие:
1) Да, сможет.
2) Если абстрагироваться от "спецэффектов" (конечная прочность колёс, суровейшие требования к транспортёру, и т.п.), то взлёт в таких условиях будет эквивалентен взлёту с заблокированными (=идущими юзом) колёсами. И тут исход будет зависеть от тяговооружённости самолёта: у ТУ-154 шансов нет, а некоторые военные, говорят, взлетают.
В реальной жизни, даже если сконструировать такой транспортёр, то в первые же секунды возникнут упомянутые выше "спецэффекты" и возможный исход будет таким: Несущаяся с диким ускорением лента будет создавать встречный ветер. А поскольку речь идёт о скоростях ленты порядка километров в секунду, то ветер будет неслабый и, уж если не приведёт напрямую к взлёту самолёта, то за счёт подъёмной силы ослабит контакт колёс с лентой. Кроме этого, из-за быстрого вращения будет нарастать эффект "аэропланирования" колёс, когда между покрышками и лентой возникнет прослойка воздуха. Как только этот момент наступит - самолёт неминуемо взлетит. Главное, чтобы колёса/подшипники выдержали нештатные скорости вращения.