(no subject)
На прошлой неделе я узнал замечательный математический факт, потрясший меня своей красотой и простотой. Хочу поделиться. Итак:
Возьмем ряд натуральных чисел - 1, 2, 3 и так далее. Попробуем посчитать для каждого числа - сколькими способами его можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел? Отрицательные числа разрешаем, порядок учитываем. Например, для 1 ответ 4: пары (1, 0), (0, 1), (-1, 0) и (0, -1) дают нам нужный результат.
Для 2 ответ тоже 4. Для 3 ответ 0. Для 4 ответ 4. Для 5 - аж 8. И так далее. (Замечание в сторону - это хорошее и несложное исследование, вполне доступное школьникам класса с пятого, они у меня как раз этим занимались в воскресенье на кружке.)
Назовем это значение функцией F(n). Вопрос - прослеживается ли в поведении этой функции какая-то закономерность? В целом, не очень - она скачет туда-сюда, и время от времени выдает длинные последовательности нулей.
Тогда возникает такая идея - посчитаем среднее значение F(n), n=1...K Как себя ведет это среднее с ростом К? Скачет ли оно подобно изначальной функции? Оказывается, НЕТ! Оно сходится к некоторому пределу. И предел этот РАВЕН ЧИСЛУ ПИ!!! Я просто офигел, когда это увидел. Я, конечно, знаю, что в математике пи иногда вылезает в самых неожиданных местах, но тут оно на меня так внезапно выпрыгнуло, что я онемел на какое-то время.
Кстати, я сначала предложил моим студентам попробовать угадать предел. К моему удовольствию (и некоторому удивлению) они оба предложили разумные и нетривиальные гипотезы:
- Один сказал, что предел будет равен четырем, потому что четверки встречаются чаще всего, а восьмерки и нули друг друга уравновесят
- Друго сказал, что предел будет равен нулю, потому что длина интервалов с нулями будет увеличиваться и в концов задавит ненулевые значения.
Откуда же появляется ПИ? А вот откуда. Когда мы считаем среднее функции F для всех чисел, меньших К, в знаменателе у нас К, а в числителе - количество всех таких пар (x, y) что сумма их квадратов меньше К. Каждой такой паре соответсвует точка на плоскости. Для всех этих точек верно x^2 + y^2 < K Т.е. это уравнение круга с радиусом квадратный корень из К. Наш числитель - это количество целочисленных точек внутри круга, и это число примерно равно площади круга, и чем больше К, тем меньше относительная погрешность (это на самом деле надо доказать, но интуитивно понятно). Ну а площадь круга - пи на радиус в квадрате, а радиус в квадрате - это К, поэтому их отношение равно пи.
Это все придумал Черчилль в восемнадцатом году Гаусс в 1800м году, а я прочитал в этой книжке: Ingenuity in Mathematics
Возьмем ряд натуральных чисел - 1, 2, 3 и так далее. Попробуем посчитать для каждого числа - сколькими способами его можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел? Отрицательные числа разрешаем, порядок учитываем. Например, для 1 ответ 4: пары (1, 0), (0, 1), (-1, 0) и (0, -1) дают нам нужный результат.
Для 2 ответ тоже 4. Для 3 ответ 0. Для 4 ответ 4. Для 5 - аж 8. И так далее. (Замечание в сторону - это хорошее и несложное исследование, вполне доступное школьникам класса с пятого, они у меня как раз этим занимались в воскресенье на кружке.)
Назовем это значение функцией F(n). Вопрос - прослеживается ли в поведении этой функции какая-то закономерность? В целом, не очень - она скачет туда-сюда, и время от времени выдает длинные последовательности нулей.
Тогда возникает такая идея - посчитаем среднее значение F(n), n=1...K Как себя ведет это среднее с ростом К? Скачет ли оно подобно изначальной функции? Оказывается, НЕТ! Оно сходится к некоторому пределу. И предел этот РАВЕН ЧИСЛУ ПИ!!! Я просто офигел, когда это увидел. Я, конечно, знаю, что в математике пи иногда вылезает в самых неожиданных местах, но тут оно на меня так внезапно выпрыгнуло, что я онемел на какое-то время.
Кстати, я сначала предложил моим студентам попробовать угадать предел. К моему удовольствию (и некоторому удивлению) они оба предложили разумные и нетривиальные гипотезы:
- Один сказал, что предел будет равен четырем, потому что четверки встречаются чаще всего, а восьмерки и нули друг друга уравновесят
- Друго сказал, что предел будет равен нулю, потому что длина интервалов с нулями будет увеличиваться и в концов задавит ненулевые значения.
Откуда же появляется ПИ? А вот откуда. Когда мы считаем среднее функции F для всех чисел, меньших К, в знаменателе у нас К, а в числителе - количество всех таких пар (x, y) что сумма их квадратов меньше К. Каждой такой паре соответсвует точка на плоскости. Для всех этих точек верно x^2 + y^2 < K Т.е. это уравнение круга с радиусом квадратный корень из К. Наш числитель - это количество целочисленных точек внутри круга, и это число примерно равно площади круга, и чем больше К, тем меньше относительная погрешность (это на самом деле надо доказать, но интуитивно понятно). Ну а площадь круга - пи на радиус в квадрате, а радиус в квадрате - это К, поэтому их отношение равно пи.
Это все придумал Черчилль в восемнадцатом году Гаусс в 1800м году, а я прочитал в этой книжке: Ingenuity in Mathematics